Ecuación diferencial a*y''+b*y'+c=f*cos(d*x)

Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$a$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{a \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + b \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + c}{a} = \frac{f \cos{\left(d x \right)}}{a}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$q = 0$$
$$s = \frac{c - f \cos{\left(d x \right)}}{a}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + \frac{b k}{a} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 0$$
$$k_{2} = - \frac{b}{a}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} + C_{2} e^{- \frac{b x}{a}}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- \frac{b x}{a}}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = 1 (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(-b*x/a) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = - \frac{c - f \cos{\left(d x \right)}}{a}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{- \frac{b x}{a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} 1 \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{\partial}{\partial x} e^{- \frac{b x}{a}} = - \frac{c - f \cos{\left(d x \right)}}{a}$$
o
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{- \frac{b x}{a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$- \frac{b e^{- \frac{b x}{a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)}}{a} = - \frac{c - f \cos{\left(d x \right)}}{a}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{- c + f \cos{\left(d x \right)}}{b}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\left(c - f \cos{\left(d x \right)}\right) e^{\frac{b x}{a}}}{b}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{- c + f \cos{\left(d x \right)}}{b}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{\left(c - f \cos{\left(d x \right)}\right) e^{\frac{b x}{a}}}{b}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\begin{cases} - c x + \frac{f \sin{\left(d x \right)}}{d} & \text{for}\: d \neq 0 \\x \left(- c + f\right) & \text{otherwise} \end{cases}}{b}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{\begin{cases} \text{NaN} & \text{for}\: a = 0 \wedge b = 0 \\- \frac{i c e^{i d x}}{d} + \frac{i f x e^{i d x} \sin{\left(d x \right)}}{2} - \frac{f x e^{i d x} \cos{\left(d x \right)}}{2} + \frac{i f e^{i d x} \cos{\left(d x \right)}}{2 d} & \text{for}\: a = - \frac{i b}{d} \\\frac{i c e^{- i d x}}{d} - \frac{i f x e^{- i d x} \sin{\left(d x \right)}}{2} - \frac{f x e^{- i d x} \cos{\left(d x \right)}}{2} - \frac{i f e^{- i d x} \cos{\left(d x \right)}}{2 d} & \text{for}\: a = \frac{i b}{d} \\c x - \frac{f \sin{\left(d x \right)}}{d} & \text{for}\: b = 0 \\\frac{a^{3} c d^{2} e^{\frac{b x}{a}}}{a^{2} b d^{2} + b^{3}} - \frac{a^{2} b d f e^{\frac{b x}{a}} \sin{\left(d x \right)}}{a^{2} b d^{2} + b^{3}} + \frac{a b^{2} c e^{\frac{b x}{a}}}{a^{2} b d^{2} + b^{3}} - \frac{a b^{2} f e^{\frac{b x}{a}} \cos{\left(d x \right)}}{a^{2} b d^{2} + b^{3}} & \text{otherwise} \end{cases}}{b}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- \frac{b x}{a}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} + C_{4} e^{- \frac{b x}{a}} + \frac{\begin{cases} - c x + \frac{f \sin{\left(d x \right)}}{d} & \text{for}\: d \neq 0 \\- c x + f x & \text{otherwise} \end{cases}}{b} + \frac{\left(\begin{cases} \text{NaN} & \text{for}\: a = 0 \wedge b = 0 \\- \frac{i c e^{i d x}}{d} + \frac{i f x e^{i d x} \sin{\left(d x \right)}}{2} - \frac{f x e^{i d x} \cos{\left(d x \right)}}{2} + \frac{i f e^{i d x} \cos{\left(d x \right)}}{2 d} & \text{for}\: a = - \frac{i b}{d} \\\frac{i c e^{- i d x}}{d} - \frac{i f x e^{- i d x} \sin{\left(d x \right)}}{2} - \frac{f x e^{- i d x} \cos{\left(d x \right)}}{2} - \frac{i f e^{- i d x} \cos{\left(d x \right)}}{2 d} & \text{for}\: a = \frac{i b}{d} \\c x - \frac{f \sin{\left(d x \right)}}{d} & \text{for}\: b = 0 \\\frac{a^{3} c d^{2} e^{\frac{b x}{a}}}{a^{2} b d^{2} + b^{3}} - \frac{a^{2} b d f e^{\frac{b x}{a}} \sin{\left(d x \right)}}{a^{2} b d^{2} + b^{3}} + \frac{a b^{2} c e^{\frac{b x}{a}}}{a^{2} b d^{2} + b^{3}} - \frac{a b^{2} f e^{\frac{b x}{a}} \cos{\left(d x \right)}}{a^{2} b d^{2} + b^{3}} & \text{otherwise} \end{cases}\right) e^{- \frac{b x}{a}}}{b}$$
donde C3 y C4 hay son constantes