Ecuación diferencial y''-2y'+5y=e^x(sin(2x)-cos(x))

Tenemos la ecuación:
$$5 y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = -2$$
$$q = 5$$
$$s = - \left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 2 k + 5 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 1 - 2 i$$
$$k_{2} = 1 + 2 i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(1 - 2 i\right)} + C_{2} e^{x \left(1 + 2 i\right)}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 - 2 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 + 2 i\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(1 - 2*i)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(1 + 2*i)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(1 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(1 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(1 - 2 i\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(1 + 2 i\right)} = \left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$$
o
$$e^{x \left(1 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(1 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(1 - 2 i\right) e^{x \left(1 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(1 + 2 i\right) e^{x \left(1 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{i \left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 i x}}{4}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{i \left(- \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 i x}}{4}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{i \left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 i x}}{4}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{i \left(- \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 i x}}{4}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{x}{8} - \frac{i e^{4 i x}}{32} - \frac{e^{3 i x}}{24} - \frac{e^{i x}}{8}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{x}{8} - \frac{e^{- i x}}{8} - \frac{e^{- 3 i x}}{24} + \frac{i e^{- 4 i x}}{32}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 - 2 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 + 2 i\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{x} e^{- 2 i x} + C_{4} e^{x} e^{2 i x} - \frac{x e^{x} e^{2 i x}}{8} - \frac{x e^{x} e^{- 2 i x}}{8} - \frac{i e^{x} e^{2 i x}}{32} - \frac{e^{x} e^{i x}}{6} - \frac{e^{x} e^{- i x}}{6} + \frac{i e^{x} e^{- 2 i x}}{32}$$
donde C3 y C4 hay son constantes