sqrt(12+x)-sqrt(1-x)=1 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 12} = 1$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 12}\right)^{2} = 1$$
o
$$\left(-1\right)^{2} \left(1 - x\right) + \left(\left(-1\right) 2 \sqrt{\left(1 - x\right) \left(x + 12\right)} + 1^{2} \left(x + 12\right)\right) = 1$$
o
$$13 - 2 \sqrt{- x^{2} - 11 x + 12} = 1$$
cambiamos:
$$- 2 \sqrt{- x^{2} - 11 x + 12} = -12$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$- 4 x^{2} - 44 x + 48 = 144$$
$$- 4 x^{2} - 44 x + 48 = 144$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 4 x^{2} - 44 x - 96 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -4$$
$$b = -44$$
$$c = -96$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-44)^2 - 4 * (-4) * (-96) = 400

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = -8$$
$$x_{2} = -3$$

Como
$$\sqrt{- x^{2} - 11 x + 12} = 6$$
y
$$\sqrt{- x^{2} - 11 x + 12} \geq 0$$
entonces
$$6 \geq 0$$
$$x_{1} = -8$$
$$x_{2} = -3$$
comprobamos:
$$x_{1} = -8$$
$$- \sqrt{1 - x_{1}} + \sqrt{x_{1} + 12} - 1 = 0$$
=
$$\left(- \sqrt{1 - -8} + \sqrt{-8 + 12}\right) - 1 = 0$$
=

-2 = 0

- No
$$x_{2} = -3$$
$$- \sqrt{1 - x_{2}} + \sqrt{x_{2} + 12} - 1 = 0$$
=
$$-1 + \left(- \sqrt{1 - -3} + \sqrt{-3 + 12}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{2} = -3$$