sqrt(1+2x)=3-sqrt(16-8x) la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\sqrt{2 x + 1} = 3 - \sqrt{16 - 8 x}$$
cambiamos:
$$\sqrt{16 - 8 x} + \sqrt{2 x + 1} = 3$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{16 - 8 x} + \sqrt{2 x + 1}\right)^{2} = 9$$
o
$$1^{2} \left(2 x + 1\right) + \left(2 \sqrt{\left(16 - 8 x\right) \left(2 x + 1\right)} + 1^{2} \left(16 - 8 x\right)\right) = 9$$
o
$$- 6 x + 2 \sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 16} + 17 = 9$$
cambiamos:
$$2 \sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 16} = 6 x - 8$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$- 64 x^{2} + 96 x + 64 = \left(6 x - 8\right)^{2}$$
$$- 64 x^{2} + 96 x + 64 = 36 x^{2} - 96 x + 64$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 100 x^{2} + 192 x = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -100$$
$$b = 192$$
$$c = 0$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(192)^2 - 4 * (-100) * (0) = 36864

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{48}{25}$$

Como
$$\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 16} = 3 x - 4$$
y
$$\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 16} \geq 0$$
entonces
$$3 x - 4 \geq 0$$
o
$$\frac{4}{3} \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{2} = \frac{48}{25}$$
comprobamos:
$$x_{1} = \frac{48}{25}$$
$$\sqrt{16 - 8 x_{1}} + \sqrt{2 x_{1} + 1} - 3 = 0$$
=
$$\left(-3 + \sqrt{16 - \frac{384}{25}}\right) + \sqrt{1 + \frac{2 \cdot 48}{25}} = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = \frac{48}{25}$$