Sr Examen
Otras calculadoras
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¿Cómo usar?
- La ecuación:
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Ecuación (x-3)*(x+2)=0
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Ecuación (11x+14)-(5x-8)=25
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Ecuación z^2-6*z+10=0
-
Ecuación 4/(x-4)=-5
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- -7*x-13*y=5
- 15*x+1*y=19
- 7*x-1*y=-7
- -11*x-14*y=-3
-
Expresiones idénticas
- z^ cuatro + uno / dos +(sqrt(tres)/ dos)i= cero
- z en el grado 4 más 1 dividir por 2 más ( raíz cuadrada de (3) dividir por 2)i es igual a 0
- z en el grado cuatro más uno dividir por dos más ( raíz cuadrada de (tres) dividir por dos)i es igual a cero
- z^4+1/2+(√(3)/2)i=0
- z4+1/2+(sqrt(3)/2)i=0
- z4+1/2+sqrt3/2i=0
- z⁴+1/2+(sqrt(3)/2)i=0
- z^4+1/2+sqrt3/2i=0
- z^4+1/2+(sqrt(3)/2)i=O
- z^4+1 dividir por 2+(sqrt(3) dividir por 2)i=0
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Expresiones semejantes
- z^4-1/2+(sqrt(3)/2)i=0
- z^4+1/2-(sqrt(3)/2)i=0
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)=1
- sqrt(x-2)+sqrt(y-2)=2
- sqrt(x^2+9)=2*x-3
- sqrt(x)=-2
- sqrt(2-x)+sqrt(-x-1)=sqrt(-5*x-7)
z^4+1/2+(sqrt(3)/2)i=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
___
4 1 \/ 3
z + - + -----*I = 0
2 2
$$\left(z^{4} + \frac{1}{2}\right) + i \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$$
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$\left(z^{4} + \frac{1}{2}\right) + i \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 4 y miembro libre = -1/2 - i*sqrt(3)/2 complejo,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales
Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{4} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{4} e^{4 i p} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{4 i p} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
es decir
$$\cos{\left(4 p \right)} = - \frac{1}{2}$$
y
$$\sin{\left(4 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
entonces
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{12}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$w_{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$\left(z^{4} + \frac{1}{2}\right) + i \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 4 y miembro libre = -1/2 - i*sqrt(3)/2 complejo,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales
Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{4} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{4} e^{4 i p} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{4 i p} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
es decir
$$\cos{\left(4 p \right)} = - \frac{1}{2}$$
y
$$\sin{\left(4 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
entonces
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{12}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$w_{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
Gráfica
Respuesta rápida
[src]
___
1 I*\/ 3
z1 = - - - -------
2 2
$$z_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
___
1 I*\/ 3
z2 = - + -------
2 2
$$z_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
___
I \/ 3
z3 = - - -----
2 2
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
___
\/ 3 I
z4 = ----- - -
2 2
$$z_{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
z4 = sqrt(3)/2 - i/2
Suma y producto de raíces
[src]
suma
___ ___ ___ ___ 1 I*\/ 3 1 I*\/ 3 I \/ 3 \/ 3 I - - - ------- + - + ------- + - - ----- + ----- - - 2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)\right)$$
=
0
$$0$$
producto
/ ___\ / ___\ / ___\ / ___ \ | 1 I*\/ 3 | |1 I*\/ 3 | |I \/ 3 | |\/ 3 I| |- - - -------|*|- + -------|*|- - -----|*|----- - -| \ 2 2 / \2 2 / \2 2 / \ 2 2/
$$\left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right)$$
=
___ 1 I*\/ 3 - + ------- 2 2
$$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
1/2 + i*sqrt(3)/2
Respuesta numérica
[src]
z1 = -0.866025403784439 + 0.5*i
z2 = 0.5 + 0.866025403784439*i
z3 = -0.5 - 0.866025403784439*i
z4 = 0.866025403784439 - 0.5*i
z4 = 0.866025403784439 - 0.5*i