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z^4+1/2+(sqrt(3)/2)i=0 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

Buscar la solución numérica en el intervalo [, ]

Solución

Ha introducido [src] 
           ___      
 4   1   \/ 3       
z  + - + -----*I = 0
     2     2
(z4+12)+i32=0\left(z^{4} + \frac{1}{2}\right) + i \frac{\sqrt{3}}{2} = 0
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación
(z4+12)+i32=0\left(z^{4} + \frac{1}{2}\right) + i \frac{\sqrt{3}}{2} = 0
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 4 y miembro libre = -1/2 - i*sqrt(3)/2 complejo,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales

Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
w=zw = z
entonces la ecuación será así:
w4=−12−3i2w^{4} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}
Cualquier número complejo se puede presentar que:
w=reipw = r e^{i p}
sustituimos en la ecuación
r4e4ip=−12−3i2r^{4} e^{4 i p} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}
donde
r=1r = 1
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
e4ip=−12−3i2e^{4 i p} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
isin⁡(4p)+cos⁡(4p)=−12−3i2i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}
es decir
cos⁡(4p)=−12\cos{\left(4 p \right)} = - \frac{1}{2}
y
sin⁡(4p)=−32\sin{\left(4 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}
entonces
p=πN2+π12p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{12}
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
w1=−12−3i2w_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}
w2=12+3i2w_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}
w3=−32+i2w_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}
w4=32−i2w_{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}
hacemos cambio inverso
w=zw = z
z=wz = w

Entonces la respuesta definitiva es:
z1=−12−3i2z_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}
z2=12+3i2z_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}
z3=−32+i2z_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}
z4=32−i2z_{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}
Gráfica
Respuesta rápida [src] 
               ___
       1   I*\/ 3 
z1 = - - - -------
       2      2
z1=−12−3i2z_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} 
             ___
     1   I*\/ 3 
z2 = - + -------
     2      2
z2=12+3i2z_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} 
           ___
     I   \/ 3 
z3 = - - -----
     2     2
z3=−32+i2z_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} 
       ___    
     \/ 3    I
z4 = ----- - -
       2     2
z4=32−i2z_{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} 
z4 = sqrt(3)/2 - i/2
Suma y producto de raíces [src] 
suma
          ___           ___         ___     ___    
  1   I*\/ 3    1   I*\/ 3    I   \/ 3    \/ 3    I
- - - ------- + - + ------- + - - ----- + ----- - -
  2      2      2      2      2     2       2     2
(32−i2)+(((−12−3i2)+(12+3i2))+(−32+i2))\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)\right) 
=
0
00 
producto
/          ___\ /        ___\ /      ___\ /  ___    \
|  1   I*\/ 3 | |1   I*\/ 3 | |I   \/ 3 | |\/ 3    I|
|- - - -------|*|- + -------|*|- - -----|*|----- - -|
\  2      2   / \2      2   / \2     2  / \  2     2/
(−12−3i2)(12+3i2)(−32+i2)(32−i2)\left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) 
=
        ___
1   I*\/ 3 
- + -------
2      2
12+3i2\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} 
1/2 + i*sqrt(3)/2
Respuesta numérica [src] 
z1 = -0.866025403784439 + 0.5*i
z2 = 0.5 + 0.866025403784439*i
z3 = -0.5 - 0.866025403784439*i
z4 = 0.866025403784439 - 0.5*i
z4 = 0.866025403784439 - 0.5*i
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