Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- La ecuación:
- Ecuación x^2-49=0
-
Ecuación 1-x/2=x/3
-
Ecuación 3*x^2-9=0
-
Ecuación -8x-17=3x-105
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- 4*x-1*y=-3
- -11*x+9*y=-20
- -19*x+14*y=20
- 5*x-14*y=-15
- Integral de d{x}:
- z^3
- Gráfico de la función y =:
-
z^3
- Derivada de:
-
z^3
-
Expresiones idénticas
- z^ tres =- dos *sqrt(tres)- dos *i
- z al cubo es igual a menos 2 multiplicar por raíz cuadrada de (3) menos 2 multiplicar por i
- z en el grado tres es igual a menos dos multiplicar por raíz cuadrada de (tres) menos dos multiplicar por i
- z^3=-2*√(3)-2*i
- z3=-2*sqrt(3)-2*i
- z3=-2*sqrt3-2*i
- z³=-2*sqrt(3)-2*i
- z en el grado 3=-2*sqrt(3)-2*i
- z^3=-2sqrt(3)-2i
- z3=-2sqrt(3)-2i
- z3=-2sqrt3-2i
- z^3=-2sqrt3-2i
-
Expresiones semejantes
- z^3=-2*sqrt(3)+2*i
- z^3=+2*sqrt(3)-2*i
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x+2)-sqrt(x-6)=2
- sqrt(56-x)=-x
- sqrt(x-2)+sqrt(4-x)=sqrt(6-x)
- sqrt(4+2x−x^2)=x−2.
- sqrt(x+4)=sqrt3x
z^3=-2*sqrt(3)-2*i la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$z^{3} = - 2 \sqrt{3} - 2 i$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{- 2 \sqrt{3} - 2 i}$$
o
$$z = \sqrt[3]{- 2 \sqrt{3} - 2 i}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Obtenemos la respuesta: z = (-2*i - 2*sqrt(3))^(1/3)
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{3} = - 2 \sqrt{3} - 2 i$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = - 2 \sqrt{3} - 2 i$$
donde
$$r = 2^{\frac{2}{3}}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = - \frac{1}{2}$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{18}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
$$w_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}$$
$$z^{3} = - 2 \sqrt{3} - 2 i$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{- 2 \sqrt{3} - 2 i}$$
o
$$z = \sqrt[3]{- 2 \sqrt{3} - 2 i}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
z = -2*i+2*sqrt+3)^1/3
Obtenemos la respuesta: z = (-2*i - 2*sqrt(3))^(1/3)
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{3} = - 2 \sqrt{3} - 2 i$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = - 2 \sqrt{3} - 2 i$$
donde
$$r = 2^{\frac{2}{3}}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = - \frac{1}{2}$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{18}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
$$w_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}$$
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 2 \sqrt{3} + 2 i$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 2 \sqrt{3} + 2 i$$
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 2 \sqrt{3} + 2 i$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 2 \sqrt{3} + 2 i$$
Gráfica
Respuesta rápida
[src]
2/3 /5*pi\ 2/3 /5*pi\
z1 = 2 *cos|----| - I*2 *sin|----|
\ 18 / \ 18 /
$$z_{1} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
/ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\
|2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| 2 *cos|----| 2 *\/ 3 *sin|----|
| \ 18 / \ 18 /| \ 18 / \ 18 /
z2 = I*|-------------- + --------------------| - -------------- + --------------------
\ 2 2 / 2 2
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + i \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}\right)$$
/ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\
|2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| 2 *cos|----| 2 *\/ 3 *sin|----|
| \ 18 / \ 18 /| \ 18 / \ 18 /
z3 = I*|-------------- - --------------------| - -------------- - --------------------
\ 2 2 / 2 2
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}\right)$$
z3 = -2^(2/3)*sqrt(3)*sin(5*pi/18)/2 - 2^(2/3)*cos(5*pi/18)/2 + i*(-2^(2/3)*sqrt(3)*cos(5*pi/18)/2 + 2^(2/3)*sin(5*pi/18)/2)
Suma y producto de raíces
[src]
suma
/ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\ / 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\
|2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| 2 *cos|----| 2 *\/ 3 *sin|----| |2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| 2 *cos|----| 2 *\/ 3 *sin|----|
2/3 /5*pi\ 2/3 /5*pi\ | \ 18 / \ 18 /| \ 18 / \ 18 / | \ 18 / \ 18 /| \ 18 / \ 18 /
2 *cos|----| - I*2 *sin|----| + I*|-------------- + --------------------| - -------------- + -------------------- + I*|-------------- - --------------------| - -------------- - --------------------
\ 18 / \ 18 / \ 2 2 / 2 2 \ 2 2 / 2 2
$$\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}\right)\right) + \left(\left(2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + i \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}\right)\right)\right)$$
=
/ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ / 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ |2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| |2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| | \ 18 / \ 18 /| | \ 18 / \ 18 /| 2/3 /5*pi\ I*|-------------- + --------------------| + I*|-------------- - --------------------| - I*2 *sin|----| \ 2 2 / \ 2 2 / \ 18 /
$$- 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}\right) + i \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}\right)$$
producto
/ / 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ / / 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\
| |2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| 2 *cos|----| 2 *\/ 3 *sin|----|| | |2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| 2 *cos|----| 2 *\/ 3 *sin|----||
/ 2/3 /5*pi\ 2/3 /5*pi\\ | | \ 18 / \ 18 /| \ 18 / \ 18 /| | | \ 18 / \ 18 /| \ 18 / \ 18 /|
|2 *cos|----| - I*2 *sin|----||*|I*|-------------- + --------------------| - -------------- + --------------------|*|I*|-------------- - --------------------| - -------------- - --------------------|
\ \ 18 / \ 18 // \ \ 2 2 / 2 2 / \ \ 2 2 / 2 2 /
$$\left(2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + i \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}\right)\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}\right)\right)$$
=
/ /2*pi\\
| cos|----||
3/5*pi\ |1 \ 9 /| 2/5*pi\ /5*pi\ 3/5*pi\
4*cos |----| - 12*I*|- + ---------| - 12*sin |----|*cos|----| + 4*I*sin |----|
\ 18 / \8 4 / \ 18 / \ 18 / \ 18 /
$$- 12 \sin^{2}{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + 4 \cos^{3}{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - 12 i \left(\frac{1}{8} + \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{4}\right) + 4 i \sin^{3}{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
4*cos(5*pi/18)^3 - 12*i*(1/8 + cos(2*pi/9)/4) - 12*sin(5*pi/18)^2*cos(5*pi/18) + 4*i*sin(5*pi/18)^3
Respuesta numérica
[src]
z1 = -1.56328486311802 - 0.275649299900846*i
z2 = 1.02036172780854 - 1.21601975486146*i
z3 = 0.542923135309481 + 1.49166905476231*i
z3 = 0.542923135309481 + 1.49166905476231*i