sqrt(2x-5)+sqrt(2x+3)=sqrt(6x+4) la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\sqrt{2 x - 5} + \sqrt{2 x + 3} = \sqrt{6 x + 4}$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{2 x - 5} + \sqrt{2 x + 3}\right)^{2} = 6 x + 4$$
o
$$1^{2} \left(2 x + 3\right) + \left(2 \sqrt{\left(2 x - 5\right) \left(2 x + 3\right)} + 1^{2} \left(2 x - 5\right)\right) = 6 x + 4$$
o
$$4 x + 2 \sqrt{4 x^{2} - 4 x - 15} - 2 = 6 x + 4$$
cambiamos:
$$2 \sqrt{4 x^{2} - 4 x - 15} = 2 x + 6$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$16 x^{2} - 16 x - 60 = \left(2 x + 6\right)^{2}$$
$$16 x^{2} - 16 x - 60 = 4 x^{2} + 24 x + 36$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$12 x^{2} - 40 x - 96 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 12$$
$$b = -40$$
$$c = -96$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-40)^2 - 4 * (12) * (-96) = 6208

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{97}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{97}}{3}$$

Como
$$\sqrt{4 x^{2} - 4 x - 15} = x + 3$$
y
$$\sqrt{4 x^{2} - 4 x - 15} \geq 0$$
entonces
$$x + 3 \geq 0$$
o
$$-3 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{97}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{97}}{3}$$
comprobamos:
$$x_{1} = \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{97}}{3}$$
$$\sqrt{2 x_{1} - 5} + \sqrt{2 x_{1} + 3} - \sqrt{6 x_{1} + 4} = 0$$
=
$$- \sqrt{4 + 6 \left(\frac{5}{3} + \frac{\sqrt{97}}{3}\right)} + \left(\sqrt{-5 + 2 \left(\frac{5}{3} + \frac{\sqrt{97}}{3}\right)} + \sqrt{3 + 2 \left(\frac{5}{3} + \frac{\sqrt{97}}{3}\right)}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
$$x_{2} = \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{97}}{3}$$
$$\sqrt{2 x_{2} - 5} + \sqrt{2 x_{2} + 3} - \sqrt{6 x_{2} + 4} = 0$$
=
$$- \sqrt{6 \left(\frac{5}{3} - \frac{\sqrt{97}}{3}\right) + 4} + \left(\sqrt{2 \left(\frac{5}{3} - \frac{\sqrt{97}}{3}\right) + 3} + \sqrt{-5 + 2 \left(\frac{5}{3} - \frac{\sqrt{97}}{3}\right)}\right) = 0$$
=

sqrt(-5/3 - 2*sqrt(97)/3) + sqrt(19/3 - 2*sqrt(97)/3) - sqrt(14 - 2*sqrt(97)) = 0

- No
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{97}}{3}$$