Tenemos la ecuación
$$\sqrt{x^{2} - 4} = 4 - 2 x$$
$$\sqrt{x^{2} - 4} = 4 - 2 x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$x^{2} - 4 = \left(4 - 2 x\right)^{2}$$
$$x^{2} - 4 = 4 x^{2} - 16 x + 16$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 3 x^{2} + 16 x - 20 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -3$$
$$b = 16$$
$$c = -20$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(16)^2 - 4 * (-3) * (-20) = 16
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = \frac{10}{3}$$
Como
$$\sqrt{x^{2} - 4} = 4 - 2 x$$
y
$$\sqrt{x^{2} - 4} \geq 0$$
entonces
$$4 - 2 x \geq 0$$
o
$$x \leq 2$$
$$-\infty < x$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 2$$