Tenemos la ecuación
$$\sqrt{x^{2} - 1} = 2 x$$
$$\sqrt{x^{2} - 1} = 2 x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$x^{2} - 1 = 4 x^{2}$$
$$x^{2} - 1 = 4 x^{2}$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 3 x^{2} - 1 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -3$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (-3) * (-1) = -12
Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3} i}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3} i}{3}$$