Sr Examen

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sin(2*x)+cos(2*x)
Trazado el gráfico de la función/ sin(2*x)+cos(2*x)

Gráfico de la función y = sin(2*x)+cos(2*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(2*x) + cos(2*x)
f(x)=sin⁡(2x)+cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} 
f = sin(2*x) + cos(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(2x)+cos⁡(2x)=0\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π8x_{1} = - \frac{\pi}{8}
Solución numérica
x1=−99.3528676697772x_{1} = -99.3528676697772
x2=−91.4988860358027x_{2} = -91.4988860358027
x3=−25.5254403104171x_{3} = -25.5254403104171
x4=70.2931356240716x_{4} = 70.2931356240716
x5=84.4303025652257x_{5} = 84.4303025652257
x6=65.5807466436869x_{6} = 65.5807466436869
x7=86.0010988920206x_{7} = 86.0010988920206
x8=−11.388273369263x_{8} = -11.388273369263
x9=−3.53429173528852x_{9} = -3.53429173528852
x10=−39.6626072515711x_{10} = -39.6626072515711
x11=20.0276531666349x_{11} = 20.0276531666349
x12=27.8816348006094x_{12} = 27.8816348006094
x13=−77.3617190946487x_{13} = -77.3617190946487
x14=9.03207887907065x_{14} = 9.03207887907065
x15=−61.6537558266997x_{15} = -61.6537558266997
x16=−9.8174770424681x_{16} = -9.8174770424681
x17=−69.5077374606742x_{17} = -69.5077374606742
x18=−97.7820713429823x_{18} = -97.7820713429823
x19=−67.9369411338793x_{19} = -67.9369411338793
x20=18.45685683984x_{20} = 18.45685683984
x21=76.5763209312512x_{21} = 76.5763209312512
x22=−80.5033117482384x_{22} = -80.5033117482384
x23=49.872783375738x_{23} = 49.872783375738
x24=−55.3705705195201x_{24} = -55.3705705195201
x25=2.74889357189107x_{25} = 2.74889357189107
x26=4.31968989868597x_{26} = 4.31968989868597
x27=64.009950316892x_{27} = 64.009950316892
x28=−30.2378292908018x_{28} = -30.2378292908018
x29=−75.7909227678538x_{29} = -75.7909227678538
x30=48.3019870489431x_{30} = 48.3019870489431
x31=56.1559686829176x_{31} = 56.1559686829176
x32=−52.2289778659303x_{32} = -52.2289778659303
x33=71.8639319508665x_{33} = 71.8639319508665
x34=98.5674695063798x_{34} = 98.5674695063798
x35=−45.9457925587507x_{35} = -45.9457925587507
x36=24.7400421470196x_{36} = 24.7400421470196
x37=26.3108384738145x_{37} = 26.3108384738145
x38=−36.5210145979813x_{38} = -36.5210145979813
x39=−38.0918109247762x_{39} = -38.0918109247762
x40=−16.1006623496477x_{40} = -16.1006623496477
x41=32.5940237809941x_{41} = 32.5940237809941
x42=18993.6764845222x_{42} = 18993.6764845222
x43=−31.8086256175967x_{43} = -31.8086256175967
x44=−44.3749962319558x_{44} = -44.3749962319558
x45=−47.5165888855456x_{45} = -47.5165888855456
x46=46.7311907221482x_{46} = 46.7311907221482
x47=−17.6714586764426x_{47} = -17.6714586764426
x48=−66.3661448070844x_{48} = -66.3661448070844
x49=−74.2201264410589x_{49} = -74.2201264410589
x50=12.1736715326604x_{50} = 12.1736715326604
x51=−23.9546439836222x_{51} = -23.9546439836222
x52=−33.3794219443916x_{52} = -33.3794219443916
x53=40.4480054149686x_{53} = 40.4480054149686
x54=−89.9280897090078x_{54} = -89.9280897090078
x55=13.7444678594553x_{55} = 13.7444678594553
x56=−60.0829594999048x_{56} = -60.0829594999048
x57=−8.24668071567321x_{57} = -8.24668071567321
x58=−1.96349540849362x_{58} = -1.96349540849362
x59=−88.3572933822129x_{59} = -88.3572933822129
x60=−96.2112750161874x_{60} = -96.2112750161874
x61=−82.0741080750334x_{61} = -82.0741080750334
x62=54.5851723561227x_{62} = 54.5851723561227
x63=−83.6449044018282x_{63} = -83.6449044018282
x64=−22.3838476568273x_{64} = -22.3838476568273
x65=90.7134878724053x_{65} = 90.7134878724053
x66=79.717913584841x_{66} = 79.717913584841
x67=93.8550805259951x_{67} = 93.8550805259951
x68=−53.7997741927252x_{68} = -53.7997741927252
x69=10.6028752058656x_{69} = 10.6028752058656
x70=34.164820107789x_{70} = 34.164820107789
x71=68.7223392972767x_{71} = 68.7223392972767
x72=5.89048622548086x_{72} = 5.89048622548086
x73=57.7267650097125x_{73} = 57.7267650097125
x74=−41.233403578366x_{74} = -41.233403578366
x75=43.5895980685584x_{75} = 43.5895980685584
x76=−19.2422550032375x_{76} = -19.2422550032375
x77=87.5718952188155x_{77} = 87.5718952188155
x78=21.5984494934298x_{78} = 21.5984494934298
x79=−0.392699081698724x_{79} = -0.392699081698724
x80=−58.5121631731099x_{80} = -58.5121631731099
x81=−184.175869316702x_{81} = -184.175869316702
x82=78.1471172580461x_{82} = 78.1471172580461
x83=100.138265833175x_{83} = 100.138265833175
x84=62.4391539900971x_{84} = 62.4391539900971
x85=35.7356164345839x_{85} = 35.7356164345839
x86=92.2842841992002x_{86} = 92.2842841992002
x87=42.0188017417635x_{87} = 42.0188017417635
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(2*x) + cos(2*x).
sin⁡(0⋅2)+cos⁡(0⋅2)\sin{\left(0 \cdot 2 \right)} + \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(2x)+2cos⁡(2x)=0- 2 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π8x_{1} = \frac{\pi}{8}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    ___ 
(--, \/ 2 )
 8


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=π8x_{1} = \frac{\pi}{8}
Decrece en los intervalos
(−∞,π8]\left(-\infty, \frac{\pi}{8}\right]
Crece en los intervalos
[π8,∞)\left[\frac{\pi}{8}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(2*x) + cos(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(2x)+cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(2x)+cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(2x)+cos⁡(2x)=−sin⁡(2x)+cos⁡(2x)\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = - \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}
- No
sin⁡(2x)+cos⁡(2x)=sin⁡(2x)−cos⁡(2x)\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(2*x)+cos(2*x)
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