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Trazado el gráfico de la función/ sin^2(x)+cos^2(x)

Gráfico de la función y = sin^2(x)+cos^2(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2         2   
f(x) = sin (x) + cos (x)
f(x)=sin⁡2(x)+cos⁡2(x)f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} 
f = sin(x)^2 + cos(x)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.99999999999999961.0000000000000007
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=0\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)^2 + cos(x)^2.
sin⁡2(0)+cos⁡2(0)\sin^{2}{\left(0 \right)} + \cos^{2}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
0=00 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
0=00 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))=⟨0,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))=⟨0,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)^2 + cos(x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡2(x)+cos⁡2(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡2(x)+cos⁡2(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=sin⁡2(x)+cos⁡2(x)\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}
- Sí
sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=−sin⁡2(x)−cos⁡2(x)\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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