Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ 2^(-x)*sin(x)

Gráfico de la función y = 2^(-x)*sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        -x       
f(x) = 2  *sin(x)
f(x)=2−xsin⁡(x)f{\left(x \right)} = 2^{- x} \sin{\left(x \right)} 
f = 2^(-x)*sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10001000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2−xsin⁡(x)=02^{- x} \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=62.8318530717959x_{1} = 62.8318530717959
x2=47.1238898038469x_{2} = 47.1238898038469
x3=84.8230016469244x_{3} = 84.8230016469244
x4=91.106186954104x_{4} = 91.106186954104
x5=106.814150222053x_{5} = 106.814150222053
x6=25.1327412287183x_{6} = 25.1327412287183
x7=−3.14159265358979x_{7} = -3.14159265358979
x8=−6.28318530717959x_{8} = -6.28318530717959
x9=−40.8407044966673x_{9} = -40.8407044966673
x10=−18.8495559215388x_{10} = -18.8495559215388
x11=78.5398163397448x_{11} = 78.5398163397448
x12=−9.42477796076938x_{12} = -9.42477796076938
x13=72.2566310325652x_{13} = 72.2566310325652
x14=−43.9822971502571x_{14} = -43.9822971502571
x15=31.4159265358979x_{15} = 31.4159265358979
x16=9.42477796076938x_{16} = 9.42477796076938
x17=40.8407044966673x_{17} = 40.8407044966673
x18=12.5663706143592x_{18} = 12.5663706143592
x19=87.9645943005142x_{19} = 87.9645943005142
x20=−37.6991118430775x_{20} = -37.6991118430775
x21=97.3893722612836x_{21} = 97.3893722612836
x22=0x_{22} = 0
x23=−12.5663706143592x_{23} = -12.5663706143592
x24=18.8495559215388x_{24} = 18.8495559215388
x25=34.5575191894877x_{25} = 34.5575191894877
x26=89.6758318861407x_{26} = 89.6758318861407
x27=43.9822971502571x_{27} = 43.9822971502571
x28=−31.4159265358979x_{28} = -31.4159265358979
x29=56.5486677646163x_{29} = 56.5486677646163
x30=53.4070751110265x_{30} = 53.4070751110265
x31=3.14159265358979x_{31} = 3.14159265358979
x32=15.707963267949x_{32} = 15.707963267949
x33=−21.9911485751286x_{33} = -21.9911485751286
x34=50.2654824574367x_{34} = 50.2654824574367
x35=−15.707963267949x_{35} = -15.707963267949
x36=28.2743338823081x_{36} = 28.2743338823081
x37=94.2477796076938x_{37} = 94.2477796076938
x38=69.1150383789755x_{38} = 69.1150383789755
x39=−34.5575191894877x_{39} = -34.5575191894877
x40=65.9734457253857x_{40} = 65.9734457253857
x41=21.9911485751286x_{41} = 21.9911485751286
x42=37.6991118430775x_{42} = 37.6991118430775
x43=−25.1327412287183x_{43} = -25.1327412287183
x44=−28.2743338823081x_{44} = -28.2743338823081
x45=81.6814089933346x_{45} = 81.6814089933346
x46=6.28318530717959x_{46} = 6.28318530717959
x47=100.530964914873x_{47} = 100.530964914873
x48=75.398223686155x_{48} = 75.398223686155
x49=59.6902604182061x_{49} = 59.6902604182061
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2^(-x)*sin(x).
2−0sin⁡(0)2^{- 0} \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2−xlog⁡(2)sin⁡(x)+2−xcos⁡(x)=0- 2^{- x} \log{\left(2 \right)} \sin{\left(x \right)} + 2^{- x} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(1log⁡(2))x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\log{\left(2 \right)}} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
                           /  1   \      
                      -atan|------|      
                           \log(2)/      
     /  1   \        2                   
(atan|------|, -------------------------)
     \log(2)/       _____________        
                   /        1            
                  /  1 + ------- *log(2) 
                 /          2            
               \/        log (2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=atan⁡(1log⁡(2))x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\log{\left(2 \right)}} \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,atan⁡(1log⁡(2))]\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right]
Crece en los intervalos
[atan⁡(1log⁡(2)),∞)\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\log{\left(2 \right)}} \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2−x(−sin⁡(x)+log⁡(2)2sin⁡(x)−2log⁡(2)cos⁡(x))=02^{- x} \left(- \sin{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}^{2} \sin{\left(x \right)} - 2 \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2atan⁡(1log⁡(2))x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\log{\left(2 \right)}} \right)}
x2=−2atan⁡(log⁡(2))x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(log⁡(2))]∪[2atan⁡(1log⁡(2)),∞)\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\log{\left(2 \right)}} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−2atan⁡(log⁡(2)),2atan⁡(1log⁡(2))]\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2−xsin⁡(x))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2^{- x} \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞(2−xsin⁡(x))=0\lim_{x \to \infty}\left(2^{- x} \sin{\left(x \right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2^(-x)*sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2−xsin⁡(x)x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{- x} \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩xy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x
lim⁡x→∞(2−xsin⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{- x} \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2−xsin⁡(x)=−2xsin⁡(x)2^{- x} \sin{\left(x \right)} = - 2^{x} \sin{\left(x \right)}
- No
2−xsin⁡(x)=2xsin⁡(x)2^{- x} \sin{\left(x \right)} = 2^{x} \sin{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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