Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$- \frac{4 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2 x \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(- \frac{4 x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2} \sqrt{- \frac{4 x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(- \frac{4 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2 x \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(- \frac{4 x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2} \sqrt{- \frac{4 x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1}}\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{4 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2 x \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(- \frac{4 x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2} \sqrt{- \frac{4 x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1}}\right) = - \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$