Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=(x+1)^3
-
y=2x
-
2*x^3-3*x
-
3-x^2
-
Expresiones idénticas
- acos((- uno)/(cos(x/ dos)^ dos)+ uno)
- arco coseno de eno de (( menos 1) dividir por ( coseno de (x dividir por 2) al cuadrado ) más 1)
- arco coseno de eno de (( menos uno) dividir por ( coseno de (x dividir por dos) en el grado dos) más uno)
- acos((-1)/(cos(x/2)2)+1)
- acos-1/cosx/22+1
- acos((-1)/(cos(x/2)²)+1)
- acos((-1)/(cos(x/2) en el grado 2)+1)
- acos-1/cosx/2^2+1
- acos((-1) dividir por (cos(x dividir por 2)^2)+1)
-
Expresiones semejantes
- acos((1)/(cos(x/2)^2)+1)
- acos((-1)/(cos(x/2)^2)-1)
- arccos((-1)/(cos(x/2)^2)+1)
-
Expresiones con funciones
- Arcocoseno arccos
- acos(2+2*sin(x))
- acos(2*x^2)^(2)
- acos(3*x)^(2)
- acos(sqrt(log(9-x^2)))
- acos(4*x/(4*x^2+1))
- Coseno cos
- cos[x]/x^2
- cos(x-pi/3)-1
- cos(x)/(1+cos^2*2x)
- cos(1)/((3*x))
- cos(sqrt(x))+1
Gráfico de la función y = acos((-1)/(cos(x/2)^2)+1)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 1 \
f(x) = acos|- ------- + 1|
| 2/x\ |
| cos |-| |
\ \2/ /
$$f{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} \right)}$$
f = acos(1 - 1/cos(x/2)^2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 3.14159265358979$$
$$x_{2} = 9.42477796076938$$
$$x_{1} = 3.14159265358979$$
$$x_{2} = 9.42477796076938$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sqrt{1 - \left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2}} \cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[2 \pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sqrt{1 - \left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2}} \cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
pi
(0, --)
2 pi
(2*pi, --)
2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[2 \pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{3 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{1}{2} - \frac{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\left(1 - \left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2}\right) \cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}{\sqrt{1 - \left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2}} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 4 x^{6} - 26 x^{4} + 4 x^{2} + 1, 0\right)} \right)}$$
$$x_{2} = 4 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 4 x^{6} - 26 x^{4} + 4 x^{2} + 1, 1\right)} \right)}$$
$$x_{3} = 4 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 4 x^{6} - 26 x^{4} + 4 x^{2} + 1, 2\right)} \right)}$$
$$x_{4} = 4 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 4 x^{6} - 26 x^{4} + 4 x^{2} + 1, 3\right)} \right)}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 3.14159265358979$$
$$x_{2} = 9.42477796076938$$
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^-}\left(\frac{\frac{3 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{1}{2} - \frac{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\left(1 - \left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2}\right) \cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}{\sqrt{1 - \left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2}} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = - 1.33354689405679 \cdot 10^{32} i$$
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^+}\left(\frac{\frac{3 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{1}{2} - \frac{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\left(1 - \left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2}\right) \cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}{\sqrt{1 - \left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2}} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = - 1.33354689405679 \cdot 10^{32} i$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 9.42477796076938^-}\left(\frac{\frac{3 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{1}{2} - \frac{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\left(1 - \left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2}\right) \cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}{\sqrt{1 - \left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2}} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = - 1.48171877117421 \cdot 10^{31} i$$
$$\lim_{x \to 9.42477796076938^+}\left(\frac{\frac{3 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{1}{2} - \frac{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\left(1 - \left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2}\right) \cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}{\sqrt{1 - \left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2}} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = - 1.48171877117421 \cdot 10^{31} i$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{3 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{1}{2} - \frac{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\left(1 - \left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2}\right) \cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}{\sqrt{1 - \left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2}} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 4 x^{6} - 26 x^{4} + 4 x^{2} + 1, 0\right)} \right)}$$
$$x_{2} = 4 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 4 x^{6} - 26 x^{4} + 4 x^{2} + 1, 1\right)} \right)}$$
$$x_{3} = 4 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 4 x^{6} - 26 x^{4} + 4 x^{2} + 1, 2\right)} \right)}$$
$$x_{4} = 4 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 4 x^{6} - 26 x^{4} + 4 x^{2} + 1, 3\right)} \right)}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 3.14159265358979$$
$$x_{2} = 9.42477796076938$$
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^-}\left(\frac{\frac{3 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{1}{2} - \frac{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\left(1 - \left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2}\right) \cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}{\sqrt{1 - \left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2}} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = - 1.33354689405679 \cdot 10^{32} i$$
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^+}\left(\frac{\frac{3 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{1}{2} - \frac{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\left(1 - \left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2}\right) \cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}{\sqrt{1 - \left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2}} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = - 1.33354689405679 \cdot 10^{32} i$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 9.42477796076938^-}\left(\frac{\frac{3 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{1}{2} - \frac{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\left(1 - \left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2}\right) \cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}{\sqrt{1 - \left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2}} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = - 1.48171877117421 \cdot 10^{31} i$$
$$\lim_{x \to 9.42477796076938^+}\left(\frac{\frac{3 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{1}{2} - \frac{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\left(1 - \left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2}\right) \cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}{\sqrt{1 - \left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2}} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = - 1.48171877117421 \cdot 10^{31} i$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 3.14159265358979$$
$$x_{2} = 9.42477796076938$$
$$x_{1} = 3.14159265358979$$
$$x_{2} = 9.42477796076938$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} \right)}$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} \right)}$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} \right)}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(-1/cos(x/2)^2 + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} \right)}}{x}\right)$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} \right)}}{x}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} \right)}}{x}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} \right)}}{x}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} \right)} = \operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} \right)}$$
- No
$$\operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} \right)} = - \operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} \right)} = \operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} \right)}$$
- No
$$\operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} \right)} = - \operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar