Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ log(e,x^2+1)

Gráfico de la función y = log(e,x^2+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          log(E)  
f(x) = -----------
          / 2    \
       log\x  + 1/
f(x)=log⁡(e)log⁡(x2+1)f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(e \right)}}{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}} 
f = log(E)/log(x^2 + 1)
Gráfico de la función
1.00001.01001.00101.00201.00301.00401.00501.00601.00701.00801.00901.441.46
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(e)log⁡(x2+1)=0\frac{\log{\left(e \right)}}{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(E)/log(x^2 + 1).
log⁡(e)log⁡(02+1)\frac{\log{\left(e \right)}}{\log{\left(0^{2} + 1 \right)}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2xlog⁡(e)(x2+1)log⁡(x2+1)2=0- \frac{2 x \log{\left(e \right)}}{\left(x^{2} + 1\right) \log{\left(x^{2} + 1 \right)}^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(2x2x2+1+4x2(x2+1)log⁡(x2+1)−1)log⁡(e)(x2+1)log⁡(x2+1)2=0\frac{2 \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right) \log{\left(x^{2} + 1 \right)}} - 1\right) \log{\left(e \right)}}{\left(x^{2} + 1\right) \log{\left(x^{2} + 1 \right)}^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=198893.52869865x_{1} = 198893.52869865
x2=131270.332171489x_{2} = 131270.332171489
x3=−161824.302186957x_{3} = -161824.302186957
x4=149055.498884017x_{4} = 149055.498884017
x5=−139449.194053433x_{5} = -139449.194053433
x6=162521.658183098x_{6} = 162521.658183098
x7=−193605.226817811x_{7} = -193605.226817811
x8=−198183.932483847x_{8} = -198183.932483847
x9=−66215.1566644608x_{9} = -66215.1566644608
x10=−91446.4167776548x_{10} = -91446.4167776548
x11=176086.577350768x_{11} = 176086.577350768
x12=−78727.219955848x_{12} = -78727.219955848
x13=−104343.450073115x_{13} = -104343.450073115
x14=−148363.472297687x_{14} = -148363.472297687
x15=66855.1709173944x_{15} = 66855.1709173944
x16=126857.036668777x_{16} = 126857.036668777
x17=−95726.8908167394x_{17} = -95726.8908167394
x18=135697.266970131x_{18} = 135697.266970131
x19=−175384.328833353x_{19} = -175384.328833353
x20=180628.780560124x_{20} = 180628.780560124
x21=−202771.579848002x_{21} = -202771.579848002
x22=−157325.911847418x_{22} = -157325.911847418
x23=189742.447173293x_{23} = 189742.447173293
x24=203482.540834335x_{24} = 203482.540834335
x25=167032.735173059x_{25} = 167032.735173059
x26=71004.7319917509x_{26} = 71004.7319917509
x27=−108677.958389875x_{27} = -108677.958389875
x28=−152838.854909116x_{28} = -152838.854909116
x29=113704.001126611x_{29} = 113704.001126611
x30=171554.470933342x_{30} = 171554.470933342
x31=109350.458465019x_{31} = 109350.458465019
x32=−100026.175482864x_{32} = -100026.175482864
x33=−166333.703178775x_{33} = -166333.703178775
x34=122457.865017336x_{34} = 122457.865017336
x35=92107.7964944118x_{35} = 92107.7964944118
x36=−130586.231166197x_{36} = -130586.231166197
x37=−62096.9797428386x_{37} = -62096.9797428386
x38=−143900.124654724x_{38} = -143900.124654724
x39=185180.819935447x_{39} = 185180.819935447
x40=−126175.088643906x_{40} = -126175.088643906
x41=105013.347254355x_{41} = 105013.347254355
x42=−113029.001580471x_{42} = -113029.001580471
x43=194313.425457792x_{43} = 194313.425457792
x44=−170853.808865739x_{44} = -170853.808865739
x45=−87185.646959618x_{45} = -87185.646959618
x46=96391.237723923x_{46} = 96391.237723923
x47=−189035.680420118x_{47} = -189035.680420118
x48=118073.335010358x_{48} = 118073.335010358
x49=−179924.987080122x_{49} = -179924.987080122
x50=62732.6546255312x_{50} = 62732.6546255312
x51=83600.5592867358x_{51} = 83600.5592867358
x52=−82945.5577302091x_{52} = -82945.5577302091
x53=−70360.6416871571x_{53} = -70360.6416871571
x54=−184475.520993599x_{54} = -184475.520993599
x55=79378.7815429703x_{55} = 79378.7815429703
x56=−117395.931987701x_{56} = -117395.931987701
x57=100693.35804614x_{57} = 100693.35804614
x58=−135011.085916445x_{58} = -135011.085916445
x59=140137.386713787x_{59} = 140137.386713787
x60=87843.9160675164x_{60} = 87843.9160675164
x61=144590.264576807x_{61} = 144590.264576807
x62=158021.543437032x_{62} = 158021.543437032
x63=−121778.147840051x_{63} = -121778.147840051
x64=75179.7444003695x_{64} = 75179.7444003695
x65=153532.710998519x_{65} = 153532.710998519
x66=−74531.8130159366x_{66} = -74531.8130159366
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2(2x2x2+1+4x2(x2+1)log⁡(x2+1)−1)log⁡(e)(x2+1)log⁡(x2+1)2)=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right) \log{\left(x^{2} + 1 \right)}} - 1\right) \log{\left(e \right)}}{\left(x^{2} + 1\right) \log{\left(x^{2} + 1 \right)}^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→0+(2(2x2x2+1+4x2(x2+1)log⁡(x2+1)−1)log⁡(e)(x2+1)log⁡(x2+1)2)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right) \log{\left(x^{2} + 1 \right)}} - 1\right) \log{\left(e \right)}}{\left(x^{2} + 1\right) \log{\left(x^{2} + 1 \right)}^{2}}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(e)log⁡(x2+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(e \right)}}{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(e)log⁡(x2+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(e \right)}}{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(E)/log(x^2 + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(e)xlog⁡(x2+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(e \right)}}{x \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(e)xlog⁡(x2+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(e \right)}}{x \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(e)log⁡(x2+1)=log⁡(e)log⁡(x2+1)\frac{\log{\left(e \right)}}{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}} = \frac{\log{\left(e \right)}}{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}
- Sí
log⁡(e)log⁡(x2+1)=−log⁡(e)log⁡(x2+1)\frac{\log{\left(e \right)}}{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}} = - \frac{\log{\left(e \right)}}{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}
- No
es decir, función
es
par
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