Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ exp^(2x-1)/(2*(x-1))

Gráfico de la función y = exp^(2x-1)/(2*(x-1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         2*x - 1
        E       
f(x) = ---------
       2*(x - 1)
$$f{\left(x \right)} = \frac{e^{2 x - 1}}{2 \left(x - 1\right)}$$ 
f = E^(2*x - 1)/((2*(x - 1)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{e^{2 x - 1}}{2 \left(x - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en E^(2*x - 1)/((2*(x - 1))).
$$\frac{1}{\left(-1\right) 2 e}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \frac{1}{2 e}$$
Punto:
(0, -exp(-1)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 \frac{1}{2 \left(x - 1\right)} e^{2 x - 1} - \frac{e^{2 x - 1}}{2 \left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
       2 
(3/2, e )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{3}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(2 - \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) e^{2 x - 1}}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{2 x - 1}}{2 \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{2 x - 1}}{2 \left(x - 1\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^(2*x - 1)/((2*(x - 1))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{2 \left(x - 1\right)} e^{2 x - 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{2 \left(x - 1\right)} e^{2 x - 1}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{e^{2 x - 1}}{2 \left(x - 1\right)} = \frac{e^{- 2 x - 1}}{- 2 x - 2}$$
- No
$$\frac{e^{2 x - 1}}{2 \left(x - 1\right)} = - \frac{e^{- 2 x - 1}}{- 2 x - 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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