Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (sin(2*x)/x)^(1+x)

Gráfico de la función y = (sin(2*x)/x)^(1+x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                 1 + x
       /sin(2*x)\     
f(x) = |--------|     
       \   x    /
f(x)=(sin⁡(2x)x)x+1f{\left(x \right)} = \left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right)^{x + 1} 
f = (sin(2*x)/x)^(x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005000000000000000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(sin⁡(2x)x)x+1=0\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right)^{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=70.3768704754658x_{1} = 70.3768704754658
x2=75.786320310544x_{2} = 75.786320310544
x3=94.25x_{3} = 94.25
x4=20.355531968735x_{4} = 20.355531968735
x5=53.736674817257x_{5} = 53.736674817257
x6=64.25x_{6} = 64.25
x7=50.25x_{7} = 50.25
x8=88x_{8} = 88
x9=31.641853991706x_{9} = 31.641853991706
x10=4.70306176142889x_{10} = 4.70306176142889
x11=66x_{11} = 66
x12=59.9044070549964x_{12} = 59.9044070549964
x13=81.9237685880795x_{13} = 81.9237685880795
x14=72.25x_{14} = 72.25
x15=28.25x_{15} = 28.25
x16=48.4210356261338x_{16} = 48.4210356261338
x17=44x_{17} = 44
x18=42.3113125065177x_{18} = 42.3113125065177
x19=22x_{19} = 22
x20=92.3496764423423x_{20} = 92.3496764423423
x21=95.9999980658929x_{21} = 95.9999980658929
x22=80.0240362172951x_{22} = 80.0240362172951
x23=86.25x_{23} = 86.25
x24=26.5060875854459x_{24} = 26.5060875854459
x25=37.8686625841588x_{25} = 37.8686625841588
x26=15.7855100422736x_{26} = 15.7855100422736
x27=97.8163068067899x_{27} = 97.8163068067899
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (sin(2*x)/x)^(1 + x).
(sin⁡(0⋅2)0)1\left(\frac{\sin{\left(0 \cdot 2 \right)}}{0}\right)^{1}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(sin⁡(2x)x)x+1(x(x+1)(2cos⁡(2x)x−sin⁡(2x)x2)sin⁡(2x)+log⁡(sin⁡(2x)x))=0\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right)^{x + 1} \left(\frac{x \left(x + 1\right) \left(\frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{\sin{\left(2 x \right)}} + \log{\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=15.7777653253894x_{1} = 15.7777653253894
x2=37.8653337298701x_{2} = 37.8653337298701
x3=92.3513004692731x_{3} = 92.3513004692731
x4=81.9226157841604x_{4} = 81.9226157841604
x5=75.7920506324908x_{5} = 75.7920506324908
x6=−10.122529075736x_{6} = -10.122529075736
x7=70.379381378497x_{7} = 70.379381378497
x8=64.25x_{8} = 64.25
x9=48.4252780109352x_{9} = 48.4252780109352
x10=94.25x_{10} = 94.25
x11=88x_{11} = 88
x12=66x_{12} = 66
x13=20.3586237602298x_{13} = 20.3586237602298
x14=−3.7423926776688x_{14} = -3.7423926776688
x15=59.9026025697596x_{15} = 59.9026025697596
x16=44x_{16} = 44
x17=10.1338413274099x_{17} = 10.1338413274099
x18=32.1674251886176x_{18} = 32.1674251886176
x19=53.7383365112696x_{19} = 53.7383365112696
x20=50.25x_{20} = 50.25
x21=72.25x_{21} = 72.25
x22=22x_{22} = 22
x23=42.3124881693549x_{23} = 42.3124881693549
x24=4.70966331468967x_{24} = 4.70966331468967
x25=86.25x_{25} = 86.25
x26=97.8210663017339x_{26} = 97.8210663017339
x27=26.5144422105088x_{27} = 26.5144422105088
x28=96x_{28} = 96
Signos de extremos en los puntos:
(15.777765325389442, 3.38137527656742e-35)

(37.865333729870095, 5.76053829802918e-81)

(92.3513004692731, 1.71843996774854e-204)

(81.92261578416043, 4.74281473055573e-187)

(75.79205063249081, 1.50158367252173e-156)

(-10.122529075735969, 1705936520.00085)

(70.37938137849702, 9.75136235001571e-150)

(64.25, 9.39724832660658e-153)

(48.4252780109352, 2.46800200088617e-98)

(94.25, 7.41484252077041e-413)

(88, 3.69757771252893e-276)

(66, 4.60144173874643e-208)

(20.35862376022978, 4.16278407694519e-48)

(-3.7423926776687964, 45.1736408280918)

(59.90260256975961, 1.98288574719547e-132)

(44, 5.60840435992101e-140)

(10.133841327409867, 5.56287265287092e-12)

(32.16742518861756, 9.32718920645702e-51)

(53.73833651126957, 5.42831898553262e-107)

(50.25, -2.08826940382168e-165 - 2.08826940382168e-165*I)

(72.25, -1.47892808637117e-274 - 1.47892808637117e-274*I)

(22, 6.74139566506044e-72)

(42.312488169354886, 9.3266048929589e-102)

(4.709663314689666, 1.71251362921784e-17)

(86.25, 2.29093892602142e-217)

(97.82106630173392, 3.37265414907837e-209)

(26.514442210508818, 8.48012546070643e-52)

(96, -1.21485692066512e-236)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−10.122529075736x_{1} = -10.122529075736
x2=−3.7423926776688x_{2} = -3.7423926776688
Puntos máximos de la función:
x2=10.1338413274099x_{2} = 10.1338413274099
x2=32.1674251886176x_{2} = 32.1674251886176
Decrece en los intervalos
[−3.7423926776688,10.1338413274099]\left[-3.7423926776688, 10.1338413274099\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−10.122529075736]\left(-\infty, -10.122529075736\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(2x)x)x+1=0\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right)^{x + 1} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(sin⁡(2x)x)x+1=0\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right)^{x + 1} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (sin(2*x)/x)^(1 + x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((sin⁡(2x)x)x+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right)^{x + 1}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((sin⁡(2x)x)x+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right)^{x + 1}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(sin⁡(2x)x)x+1=(sin⁡(2x)x)1−x\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right)^{x + 1} = \left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right)^{1 - x}
- No
(sin⁡(2x)x)x+1=−(sin⁡(2x)x)1−x\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right)^{x + 1} = - \left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right)^{1 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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