Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt[4x-x^2]-log((3),(x-2))

Gráfico de la función y = sqrt[4x-x^2]-log((3),(x-2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          __________                
         /        2                 
f(x) = \/  4*x - x   - log(3, x - 2)
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{- x^{2} + 4 x} - \log{\left(3 \right)}$$ 
f = sqrt(-x^2 + 4*x - log(3, x - 2))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{- x^{2} + 4 x} - \log{\left(3 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(4*x - x^2) - log(3, x - 2).
$$\sqrt{0 \cdot 4 - 0^{2}} - \log{\left(3 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)} + i \pi}$$
Punto:
(0, -log(3)/(pi*i + log(2)))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 - x}{\sqrt{- x^{2} + 4 x}} - \left. \frac{d}{d \xi_{2}} \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(\xi_{2} \right)}} \right|_{\substack{ \xi_{2}=x - 2 }} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- (\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right) \log{\left(3 \right)}}{\left(x - 2\right)^{2} \log{\left(x - 2 \right)}^{2}} + \frac{1}{\sqrt{x \left(4 - x\right)}} + \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\left(x \left(4 - x\right)\right)^{\frac{3}{2}}}) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{- x^{2} + 4 x} - \log{\left(3 \right)}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x^{2} + 4 x} - \log{\left(3 \right)}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(4*x - x^2) - log(3, x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{2} + 4 x} - \log{\left(3 \right)}}{x}\right) = - i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - i x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{2} + 4 x} - \log{\left(3 \right)}}{x}\right) = i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = i x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{- x^{2} + 4 x} - \log{\left(3 \right)} = \sqrt{- x^{2} - 4 x} - \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(- x - 2 \right)}}$$
- No
$$\sqrt{- x^{2} + 4 x} - \log{\left(3 \right)} = - \sqrt{- x^{2} - 4 x} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(- x - 2 \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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