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Trazado el gráfico de la función/ cot(x)-x/2

Gráfico de la función y = cot(x)-x/2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                x
f(x) = cot(x) - -
                2
f(x)=−x2+cot⁡(x)f{\left(x \right)} = - \frac{x}{2} + \cot{\left(x \right)} 
f = -x/2 + cot(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10001000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x2+cot⁡(x)=0- \frac{x}{2} + \cot{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−3.6435971674254x_{1} = -3.6435971674254
x2=−37.7520396346102x_{2} = -37.7520396346102
x3=3.6435971674254x_{3} = 3.6435971674254
x4=−1.0768739863118x_{4} = -1.0768739863118
x5=−9.62956034329743x_{5} = -9.62956034329743
x6=−15.8336114149477x_{6} = -15.8336114149477
x7=12.7222987717666x_{7} = 12.7222987717666
x8=9.62956034329743x_{8} = 9.62956034329743
x9=1.0768739863118x_{9} = 1.0768739863118
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−cot⁡2(x)−32=0- \cot^{2}{\left(x \right)} - \frac{3}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(cot⁡2(x)+1)cot⁡(x)=02 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,π2]\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(−x2+cot⁡(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{x}{2} + \cot{\left(x \right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(−x2+cot⁡(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x}{2} + \cot{\left(x \right)}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cot(x) - x/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(−x2+cot⁡(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{x}{2} + \cot{\left(x \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(−x2+cot⁡(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x}{2} + \cot{\left(x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x2+cot⁡(x)=x2−cot⁡(x)- \frac{x}{2} + \cot{\left(x \right)} = \frac{x}{2} - \cot{\left(x \right)}
- No
−x2+cot⁡(x)=−x2+cot⁡(x)- \frac{x}{2} + \cot{\left(x \right)} = - \frac{x}{2} + \cot{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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