Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cot(x+pi/6)-1

Gráfico de la función y = cot(x+pi/6)-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /    pi\    
f(x) = cot|x + --| - 1
          \    6 /
f(x)=cot⁡(x+π6)−1f{\left(x \right)} = \cot{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 1 
f = cot(x + pi/6) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cot⁡(x+π6)−1=0\cot{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π12x_{1} = \frac{\pi}{12}
Solución numérica
x1=97.6511716490827x_{1} = 97.6511716490827
x2=25.3945406165175x_{2} = 25.3945406165175
x3=3.40339204138894x_{3} = 3.40339204138894
x4=−56.2868683768171x_{4} = -56.2868683768171
x5=72.5184304203644x_{5} = 72.5184304203644
x6=−28.012534494509x_{6} = -28.012534494509
x7=78.801615727544x_{7} = 78.801615727544
x8=6.54498469497874x_{8} = 6.54498469497874
x9=−97.1275728734844x_{9} = -97.1275728734844
x10=−75.1364242983559x_{10} = -75.1364242983559
x11=−90.8443875663049x_{11} = -90.8443875663049
x12=−12.30457122656x_{12} = -12.30457122656
x13=−62.5700536839967x_{13} = -62.5700536839967
x14=−9.16297857297023x_{14} = -9.16297857297023
x15=−24.8709418409192x_{15} = -24.8709418409192
x16=−65.7116463375865x_{16} = -65.7116463375865
x17=19.1113553093379x_{17} = 19.1113553093379
x18=−84.5612022591253x_{18} = -84.5612022591253
x19=0.261799387799149x_{19} = 0.261799387799149
x20=53.6688744988256x_{20} = 53.6688744988256
x21=28.5361332701073x_{21} = 28.5361332701073
x22=81.9432083811338x_{22} = 81.9432083811338
x23=−87.7027949127151x_{23} = -87.7027949127151
x24=69.3768377667746x_{24} = 69.3768377667746
x25=85.0848010347236x_{25} = 85.0848010347236
x26=−15.4461638801498x_{26} = -15.4461638801498
x27=−43.720497762458x_{27} = -43.720497762458
x28=−59.4284610304069x_{28} = -59.4284610304069
x29=−34.2957198016886x_{29} = -34.2957198016886
x30=−37.4373124552784x_{30} = -37.4373124552784
x31=−68.8532389911763x_{31} = -68.8532389911763
x32=44.2440965380563x_{32} = 44.2440965380563
x33=59.9520598060052x_{33} = 59.9520598060052
x34=−31.1541271480988x_{34} = -31.1541271480988
x35=−21.7293491873294x_{35} = -21.7293491873294
x36=−53.1452757232273x_{36} = -53.1452757232273
x37=41.1025038844665x_{37} = 41.1025038844665
x38=−100.269165527074x_{38} = -100.269165527074
x39=94.5095789954929x_{39} = 94.5095789954929
x40=−18.5877565337396x_{40} = -18.5877565337396
x41=66.2352451131848x_{41} = 66.2352451131848
x42=−46.8620904160477x_{42} = -46.8620904160477
x43=56.8104671524154x_{43} = 56.8104671524154
x44=47.3856891916461x_{44} = 47.3856891916461
x45=−71.9948316447661x_{45} = -71.9948316447661
x46=9.68657734856853x_{46} = 9.68657734856853
x47=63.093652459595x_{47} = 63.093652459595
x48=−81.4196096055355x_{48} = -81.4196096055355
x49=−78.2780169519457x_{49} = -78.2780169519457
x50=−6.02138591938044x_{50} = -6.02138591938044
x51=−50.0036830696375x_{51} = -50.0036830696375
x52=37.9609112308767x_{52} = 37.9609112308767
x53=100.792764302673x_{53} = 100.792764302673
x54=88.2263936883134x_{54} = 88.2263936883134
x55=31.6777259236971x_{55} = 31.6777259236971
x56=34.8193185772869x_{56} = 34.8193185772869
x57=15.9697626557481x_{57} = 15.9697626557481
x58=91.3679863419031x_{58} = 91.3679863419031
x59=22.2529479629277x_{59} = 22.2529479629277
x60=−40.5789051088682x_{60} = -40.5789051088682
x61=75.6600230739542x_{61} = 75.6600230739542
x62=−93.9859802198946x_{62} = -93.9859802198946
x63=12.8281700021583x_{63} = 12.8281700021583
x64=50.5272818452358x_{64} = 50.5272818452358
x65=−2.87979326579064x_{65} = -2.87979326579064
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cot(x + pi/6) - 1.
−1+cot⁡(π6)-1 + \cot{\left(\frac{\pi}{6} \right)}
Resultado:
f(0)=−1+3f{\left(0 \right)} = -1 + \sqrt{3}
Punto:
(0, -1 + sqrt(3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−cot⁡2(x+π6)−1=0- \cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(cot⁡2(x+π6)+1)cot⁡(x+π6)=02 \left(\cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} + 1\right) \cot{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,π3]\left(-\infty, \frac{\pi}{3}\right]
Convexa en los intervalos
[π3,∞)\left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(cot⁡(x+π6)−1)y = \lim_{x \to -\infty}\left(\cot{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 1\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(cot⁡(x+π6)−1)y = \lim_{x \to \infty}\left(\cot{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 1\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cot(x + pi/6) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(cot⁡(x+π6)−1x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 1}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(cot⁡(x+π6)−1x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 1}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cot⁡(x+π6)−1=−cot⁡(x−π6)−1\cot{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 1 = - \cot{\left(x - \frac{\pi}{6} \right)} - 1
- No
cot⁡(x+π6)−1=cot⁡(x−π6)+1\cot{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 1 = \cot{\left(x - \frac{\pi}{6} \right)} + 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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