Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cot(4*x)^(3)*x*atan(2*x^3)

Gráfico de la función y = cot(4*x)^(3)*x*atan(2*x^3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3            /   3\
f(x) = cot (4*x)*x*atan\2*x /
f(x)=xcot⁡3(4x)atan⁡(2x3)f{\left(x \right)} = x \cot^{3}{\left(4 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x^{3} \right)} 
f = (x*cot(4*x)^3)*atan(2*x^3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5000000050000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xcot⁡3(4x)atan⁡(2x3)=0x \cot^{3}{\left(4 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x^{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−7π8x_{1} = - \frac{7 \pi}{8}
x2=−3π8x_{2} = - \frac{3 \pi}{8}
x3=π8x_{3} = \frac{\pi}{8}
x4=5π8x_{4} = \frac{5 \pi}{8}
Solución numérica
x1=−42.0187952042619x_{1} = -42.0187952042619
x2=−86.0010985105725x_{2} = -86.0010985105725
x3=−27.8816404013305x_{3} = -27.8816404013305
x4=52.2289833876972x_{4} = 52.2289833876972
x5=−13.7444693096837x_{5} = -13.7444693096837
x6=−35.7356202104101x_{6} = -35.7356202104101
x7=−49.8727812987535x_{7} = -49.8727812987535
x8=−1.96350801778647x_{8} = -1.96350801778647
x9=42.0187952204097x_{9} = 42.0187952204097
x10=64.0099468629538x_{10} = 64.0099468629538
x11=−64.0099468617266x_{11} = -64.0099468617266
x12=8.24668158567848x_{12} = 8.24668158567848
x13=−5.8904978965385x_{13} = -5.8904978965385
x14=30.2378324833855x_{14} = 30.2378324833855
x15=86.0010985105726x_{15} = 86.0010985105726
x16=1.96350833739979x_{16} = 1.96350833739979
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (cot(4*x)^3*x)*atan(2*x^3).
0cot⁡3(0⋅4)atan⁡(2⋅03)0 \cot^{3}{\left(0 \cdot 4 \right)} \operatorname{atan}{\left(2 \cdot 0^{3} \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6x3cot⁡3(4x)4x6+1+(x(−12cot⁡2(4x)−12)cot⁡2(4x)+cot⁡3(4x))atan⁡(2x3)=0\frac{6 x^{3} \cot^{3}{\left(4 x \right)}}{4 x^{6} + 1} + \left(x \left(- 12 \cot^{2}{\left(4 x \right)} - 12\right) \cot^{2}{\left(4 x \right)} + \cot^{3}{\left(4 x \right)}\right) \operatorname{atan}{\left(2 x^{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−13.7444678635656x_{1} = -13.7444678635656
x2=86.0010988906987x_{2} = 86.0010988906987
x3=−35.7356164453217x_{3} = -35.7356164453217
x4=8.24668071814382x_{4} = 8.24668071814382
x5=30.237829299942x_{5} = 30.237829299942
x6=−86.0010988907009x_{6} = -86.0010988907009
x7=1.96349545528979x_{7} = 1.96349545528979
Signos de extremos en los puntos:
(-13.744467863565578, 9.59342856831256e-23)

(86.00109889069867, 1.99718359269417e-23)

(-35.73561644532166, 4.44774106646578e-21)

(8.246680718143821, -1.24953146848195e-23)

(30.237829299941954, -2.32119513834929e-21)

(-86.00109889070093, -1.98695986575136e-23)

(1.9634954552897868, -1.93789974531581e-20)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Decrece en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(xcot⁡3(4x)atan⁡(2x3))y = \lim_{x \to -\infty}\left(x \cot^{3}{\left(4 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x^{3} \right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(xcot⁡3(4x)atan⁡(2x3))y = \lim_{x \to \infty}\left(x \cot^{3}{\left(4 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x^{3} \right)}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (cot(4*x)^3*x)*atan(2*x^3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(cot⁡3(4x)atan⁡(2x3))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\cot^{3}{\left(4 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x^{3} \right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(cot⁡3(4x)atan⁡(2x3))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\cot^{3}{\left(4 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x^{3} \right)}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xcot⁡3(4x)atan⁡(2x3)=−xcot⁡3(4x)atan⁡(2x3)x \cot^{3}{\left(4 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x^{3} \right)} = - x \cot^{3}{\left(4 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x^{3} \right)}
- No
xcot⁡3(4x)atan⁡(2x3)=xcot⁡3(4x)atan⁡(2x3)x \cot^{3}{\left(4 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x^{3} \right)} = x \cot^{3}{\left(4 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x^{3} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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