Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ atan((1.1/x^2)-1)-atan((1/x^2)-1)

Gráfico de la función y = atan((1.1/x^2)-1)-atan((1/x^2)-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /  11     \       /1     \
f(x) = atan|----- - 1| - atan|-- - 1|
           |    2    |       | 2    |
           \10*x     /       \x     /
f(x)=−atan⁡(−1+1x2)+atan⁡(−1+1110x2)f{\left(x \right)} = - \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{1}{x^{2}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{11}{10 x^{2}} \right)} 
f = -atan(-1 + 1/(x^2)) + atan(-1 + 11/(10*x^2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.00.2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−atan⁡(−1+1x2)+atan⁡(−1+1110x2)=0- \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{1}{x^{2}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{11}{10 x^{2}} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=384959.966347025x_{1} = 384959.966347025
x2=202924.51943723x_{2} = 202924.51943723
x3=−363170.642212138x_{3} = -363170.642212138
x4=−262043.520340329x_{4} = -262043.520340329
x5=395072.046869734x_{5} = 395072.046869734
x6=−322721.062661494x_{6} = -322721.062661494
x7=−413731.108834409x_{7} = -413731.108834409
x8=−423843.04905541x_{8} = -423843.04905541
x9=283835.020785358x_{9} = 283835.020785358
x10=415296.053526316x_{10} = 415296.053526316
x11=243381.622489197x_{11} = 243381.622489197
x12=486078.792839727x_{12} = 486078.792839727
x13=354623.363204218x_{13} = 354623.363204218
x14=−231702.512239569x_{14} = -231702.512239569
x15=−201359.115588951x_{15} = -201359.115588951
x16=−504737.24867021x_{16} = -504737.24867021
x17=−373282.851422267x_{17} = -373282.851422267
x18=425407.986996367x_{18} = 425407.986996367
x19=−302495.723068632x_{19} = -302495.723068632
x20=−383394.998107542x_{20} = -383394.998107542
x21=−312608.446087631x_{21} = -312608.446087631
x22=304060.792242265x_{22} = 304060.792242265
x23=233267.769228125x_{23} = 233267.769228125
x24=334398.605163596x_{24} = 334398.605163596
x25=213039.257748739x_{25} = 213039.257748739
x26=−282269.911979024x_{26} = -282269.911979024
x27=223153.659789151x_{27} = 223153.659789151
x28=435519.878217569x_{28} = 435519.878217569
x29=455743.545157577x_{29} = 455743.545157577
x30=−484513.886946109x_{30} = -484513.886946109
x31=253495.25019255x_{31} = 253495.25019255
x32=−221588.360454763x_{32} = -221588.360454763
x33=374847.828811334x_{33} = 374847.828811334
x34=−433954.946562193x_{34} = -433954.946562193
x35=−454178.624839889x_{35} = -454178.624839889
x36=−272156.796808776x_{36} = -272156.796808776
x37=506302.146355778x_{37} = 506302.146355778
x38=−474402.164050914x_{38} = -474402.164050914
x39=293947.970536312x_{39} = 293947.970536312
x40=−251930.063173768x_{40} = -251930.063173768
x41=−292382.882570298x_{41} = -292382.882570298
x42=465855.325888579x_{42} = 465855.325888579
x43=263608.678266332x_{43} = 263608.678266332
x44=−353058.365108322x_{44} = -353058.365108322
x45=−211473.909883001x_{45} = -211473.909883001
x46=475967.074446924x_{46} = 475967.074446924
x47=344511.023954788x_{47} = 344511.023954788
x48=−332833.582484688x_{48} = -332833.582484688
x49=−444066.804271355x_{49} = -444066.804271355
x50=−403619.122690482x_{50} = -403619.122690482
x51=496190.482910562x_{51} = 496190.482910562
x52=405184.074645808x_{52} = 405184.074645808
x53=445631.730064714x_{53} = 445631.730064714
x54=314173.498257059x_{54} = 314173.498257059
x55=−342946.014109268x_{55} = -342946.014109268
x56=364735.629523504x_{56} = 364735.629523504
x57=−393507.087085314x_{57} = -393507.087085314
x58=−241816.402668926x_{58} = -241816.402668926
x59=324286.099395039x_{59} = 324286.099395039
x60=−494625.581246558x_{60} = -494625.581246558
x61=273721.928812067x_{61} = 273721.928812067
x62=−464290.410693433x_{62} = -464290.410693433
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(11/(10*x^2) - 1) - atan(1/(x^2) - 1).
atan⁡(−1+1110⋅02)−atan⁡(−1+102)\operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{11}{10 \cdot 0^{2}} \right)} - \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{1}{0^{2}} \right)}
Resultado:
f(0)=⟨−π,π⟩f{\left(0 \right)} = \left\langle - \pi, \pi\right\rangle
Punto:
(0, AccumBounds(-pi, pi))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−115x3((−1+1110x2)2+1)+2x3((−1+1x2)2+1)=0- \frac{11}{5 x^{3} \left(\left(-1 + \frac{11}{10 x^{2}}\right)^{2} + 1\right)} + \frac{2}{x^{3} \left(\left(-1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1142⋅53410x_{1} = - \frac{\sqrt[4]{11} \sqrt{2} \cdot 5^{\frac{3}{4}}}{10}
x2=1142⋅53410x_{2} = \frac{\sqrt[4]{11} \sqrt{2} \cdot 5^{\frac{3}{4}}}{10}
Signos de extremos en los puntos:
    ___  3/4 4 ____         /      ____\       /        ____\ 
 -\/ 2 *5   *\/ 11          |    \/ 55 |       |    2*\/ 55 | 
(-------------------, - atan|1 - ------| + atan|1 - --------|)
          10                \      5   /       \       11   / 

   ___  3/4 4 ____        /      ____\       /        ____\ 
 \/ 2 *5   *\/ 11         |    \/ 55 |       |    2*\/ 55 | 
(-----------------, - atan|1 - ------| + atan|1 - --------|)
         10               \      5   /       \       11   /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=−1142⋅53410x_{2} = - \frac{\sqrt[4]{11} \sqrt{2} \cdot 5^{\frac{3}{4}}}{10}
x2=1142⋅53410x_{2} = \frac{\sqrt[4]{11} \sqrt{2} \cdot 5^{\frac{3}{4}}}{10}
Decrece en los intervalos
(−∞,−1142⋅53410]\left(-\infty, - \frac{\sqrt[4]{11} \sqrt{2} \cdot 5^{\frac{3}{4}}}{10}\right]
Crece en los intervalos
[1142⋅53410,∞)\left[\frac{\sqrt[4]{11} \sqrt{2} \cdot 5^{\frac{3}{4}}}{10}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−atan⁡(−1+1x2)+atan⁡(−1+1110x2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{1}{x^{2}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{11}{10 x^{2}} \right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(−atan⁡(−1+1x2)+atan⁡(−1+1110x2))=0\lim_{x \to \infty}\left(- \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{1}{x^{2}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{11}{10 x^{2}} \right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(11/(10*x^2) - 1) - atan(1/(x^2) - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−atan⁡(−1+1x2)+atan⁡(−1+1110x2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{1}{x^{2}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{11}{10 x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−atan⁡(−1+1x2)+atan⁡(−1+1110x2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{1}{x^{2}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{11}{10 x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−atan⁡(−1+1x2)+atan⁡(−1+1110x2)=−atan⁡(−1+1x2)+atan⁡(−1+1110x2)- \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{1}{x^{2}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{11}{10 x^{2}} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{1}{x^{2}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{11}{10 x^{2}} \right)}
- Sí
−atan⁡(−1+1x2)+atan⁡(−1+1110x2)=atan⁡(−1+1x2)−atan⁡(−1+1110x2)- \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{1}{x^{2}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{11}{10 x^{2}} \right)} = \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{1}{x^{2}} \right)} - \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{11}{10 x^{2}} \right)}
- No
es decir, función
es
par
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