Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
-
Expresiones idénticas
- atan((x+ uno)/((x*(x- uno)^ dos)))
- arco tangente de gente de ((x más 1) dividir por ((x multiplicar por (x menos 1) al cuadrado )))
- arco tangente de gente de ((x más uno) dividir por ((x multiplicar por (x menos uno) en el grado dos)))
- atan((x+1)/((x*(x-1)2)))
- atanx+1/x*x-12
- atan((x+1)/((x*(x-1)²)))
- atan((x+1)/((x*(x-1) en el grado 2)))
- atan((x+1)/((x(x-1)^2)))
- atan((x+1)/((x(x-1)2)))
- atanx+1/xx-12
- atanx+1/xx-1^2
- atan((x+1) dividir por ((x*(x-1)^2)))
-
Expresiones semejantes
- atan((x-1)/((x*(x-1)^2)))
- atan((x+1)/((x*(x+1)^2)))
- arctan((x+1)/((x*(x-1)^2)))
-
Expresiones con funciones
- Arcotangente arctan
- atan(5*x)/asin(6*x)
- atan(sqrt((4.00/x^2)-1))-atan(sqrt((1/x^2)-1))-pi/4
- atan(x^2-1/(x^2+1))
- atan((1-x)/(1+x))^-2
- atan(21*x)/(-1+e^(-7*x))
Gráfico de la función y = atan((x+1)/((x*(x-1)^2)))
Solución
Ha introducido
[src]
/ x + 1 \
f(x) = atan|----------|
| 2|
\x*(x - 1) /
$$f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x \left(x - 1\right)^{2}} \right)}$$
f = atan((x + 1)/((x*(x - 1)^2)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\frac{1}{x \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{\left(x + 1\right) \left(- x \left(2 x - 2\right) - \left(x - 1\right)^{2}\right)}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}}{1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{3}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{3}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{3}{4}\right] \cup \left[- \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{3}{4}, - \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\frac{1}{x \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{\left(x + 1\right) \left(- x \left(2 x - 2\right) - \left(x - 1\right)^{2}\right)}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}}{1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{3}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ ____ \
| 1 \/ 17 |
____ | - + ------ |
3 \/ 17 | 4 4 |
(- - + ------, atan|------------------------------|)
4 4 | 2 |
|/ ____\ / ____\|
|| 7 \/ 17 | | 3 \/ 17 ||
||- - + ------| *|- - + ------||
\\ 4 4 / \ 4 4 // / ____ \
| 1 \/ 17 |
____ | - - ------ |
3 \/ 17 | 4 4 |
(- - - ------, atan|------------------------------|)
4 4 | 2 |
|/ ____\ / ____\|
|| 7 \/ 17 | | 3 \/ 17 ||
||- - - ------| *|- - - ------||
\\ 4 4 / \ 4 4 // Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{3}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{3}{4}\right] \cup \left[- \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{3}{4}, - \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 3 x + 1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 2\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x - 1} + \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x} + \frac{\left(1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x + 1\right) \left(-1 + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1} + \frac{x + 1}{x}\right)}{x \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right)}{x^{2} \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2.57061833949873$$
$$x_{2} = -0.311760245086823$$
$$x_{3} = 0.58926962204328$$
$$x_{4} = 1.96114996069894$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(- 3 x + 1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 2\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x - 1} + \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x} + \frac{\left(1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x + 1\right) \left(-1 + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1} + \frac{x + 1}{x}\right)}{x \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right)}{x^{2} \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = 6$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(- 3 x + 1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 2\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x - 1} + \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x} + \frac{\left(1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x + 1\right) \left(-1 + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1} + \frac{x + 1}{x}\right)}{x \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right)}{x^{2} \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = 6$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- 3 x + 1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 2\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x - 1} + \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x} + \frac{\left(1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x + 1\right) \left(-1 + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1} + \frac{x + 1}{x}\right)}{x \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right)}{x^{2} \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- 3 x + 1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 2\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x - 1} + \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x} + \frac{\left(1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x + 1\right) \left(-1 + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1} + \frac{x + 1}{x}\right)}{x \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right)}{x^{2} \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = -1$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1.96114996069894, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -0.311760245086823\right] \cup \left[0.58926962204328, 1.96114996069894\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 3 x + 1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 2\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x - 1} + \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x} + \frac{\left(1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x + 1\right) \left(-1 + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1} + \frac{x + 1}{x}\right)}{x \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right)}{x^{2} \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2.57061833949873$$
$$x_{2} = -0.311760245086823$$
$$x_{3} = 0.58926962204328$$
$$x_{4} = 1.96114996069894$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(- 3 x + 1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 2\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x - 1} + \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x} + \frac{\left(1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x + 1\right) \left(-1 + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1} + \frac{x + 1}{x}\right)}{x \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right)}{x^{2} \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = 6$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(- 3 x + 1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 2\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x - 1} + \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x} + \frac{\left(1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x + 1\right) \left(-1 + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1} + \frac{x + 1}{x}\right)}{x \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right)}{x^{2} \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = 6$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- 3 x + 1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 2\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x - 1} + \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x} + \frac{\left(1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x + 1\right) \left(-1 + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1} + \frac{x + 1}{x}\right)}{x \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right)}{x^{2} \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- 3 x + 1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 2\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x - 1} + \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x} + \frac{\left(1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x + 1\right) \left(-1 + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1} + \frac{x + 1}{x}\right)}{x \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right)}{x^{2} \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = -1$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1.96114996069894, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -0.311760245086823\right] \cup \left[0.58926962204328, 1.96114996069894\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x \left(x - 1\right)^{2}} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x \left(x - 1\right)^{2}} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x \left(x - 1\right)^{2}} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x \left(x - 1\right)^{2}} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan((x + 1)/((x*(x - 1)^2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x \left(x - 1\right)^{2}} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x \left(x - 1\right)^{2}} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x \left(x - 1\right)^{2}} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x \left(x - 1\right)^{2}} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x \left(x - 1\right)^{2}} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - x}{x \left(- x - 1\right)^{2}} \right)}$$
- No
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x \left(x - 1\right)^{2}} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - x}{x \left(- x - 1\right)^{2}} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x \left(x - 1\right)^{2}} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - x}{x \left(- x - 1\right)^{2}} \right)}$$
- No
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x \left(x - 1\right)^{2}} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - x}{x \left(- x - 1\right)^{2}} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar