Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ atan((x+1)/((x*(x-1)^2)))

Gráfico de la función y = atan((x+1)/((x*(x-1)^2)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /  x + 1   \
f(x) = atan|----------|
           |         2|
           \x*(x - 1) /
f(x)=atan⁡(x+1x(x−1)2)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x \left(x - 1\right)^{2}} \right)} 
f = atan((x + 1)/((x*(x - 1)^2)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan((x + 1)/((x*(x - 1)^2))).
atan⁡(10(−1)2)\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{0 \left(-1\right)^{2}} \right)}
Resultado:
f(0)=⟨−π2,π2⟩f{\left(0 \right)} = \left\langle - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right\rangle
Punto:
(0, AccumBounds(-pi/2, pi/2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1x(x−1)2+(x+1)(−x(2x−2)−(x−1)2)x2(x−1)41+(x+1)2x2(x−1)4=0\frac{\frac{1}{x \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{\left(x + 1\right) \left(- x \left(2 x - 2\right) - \left(x - 1\right)^{2}\right)}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}}{1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−34+174x_{1} = - \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}
x2=−174−34x_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{3}{4}
Signos de extremos en los puntos:
                   /                ____          \ 
                   |          1   \/ 17           | 
         ____      |          - + ------          | 
   3   \/ 17       |          4     4             | 
(- - + ------, atan|------------------------------|)
   4     4         |              2               | 
                   |/        ____\  /        ____\| 
                   ||  7   \/ 17 |  |  3   \/ 17 || 
                   ||- - + ------| *|- - + ------|| 
                   \\  4     4   /  \  4     4   // 

                   /                ____          \ 
                   |          1   \/ 17           | 
         ____      |          - - ------          | 
   3   \/ 17       |          4     4             | 
(- - - ------, atan|------------------------------|)
   4     4         |              2               | 
                   |/        ____\  /        ____\| 
                   ||  7   \/ 17 |  |  3   \/ 17 || 
                   ||- - - ------| *|- - - ------|| 
                   \\  4     4   /  \  4     4   //


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−34+174x_{1} = - \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=−174−34x_{1} = - \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{3}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,−174−34]∪[−34+174,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{3}{4}\right] \cup \left[- \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−174−34,−34+174]\left[- \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{3}{4}, - \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−3x+1−(x+1)(3x−2)x−1+2(x+1)(3x−1)x−1+(x+1)(3x−1)x+(1−(x+1)(3x−1)x(x−1))(x+1)(−1+2(x+1)x−1+x+1x)x(1+(x+1)2x2(x−1)4)(x−1)3)x2(1+(x+1)2x2(x−1)4)(x−1)3=0\frac{2 \left(- 3 x + 1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 2\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x - 1} + \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x} + \frac{\left(1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x + 1\right) \left(-1 + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1} + \frac{x + 1}{x}\right)}{x \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right)}{x^{2} \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2.57061833949873x_{1} = -2.57061833949873
x2=−0.311760245086823x_{2} = -0.311760245086823
x3=0.58926962204328x_{3} = 0.58926962204328
x4=1.96114996069894x_{4} = 1.96114996069894
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1

lim⁡x→0−(2(−3x+1−(x+1)(3x−2)x−1+2(x+1)(3x−1)x−1+(x+1)(3x−1)x+(1−(x+1)(3x−1)x(x−1))(x+1)(−1+2(x+1)x−1+x+1x)x(1+(x+1)2x2(x−1)4)(x−1)3)x2(1+(x+1)2x2(x−1)4)(x−1)3)=6\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(- 3 x + 1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 2\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x - 1} + \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x} + \frac{\left(1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x + 1\right) \left(-1 + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1} + \frac{x + 1}{x}\right)}{x \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right)}{x^{2} \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = 6
lim⁡x→0+(2(−3x+1−(x+1)(3x−2)x−1+2(x+1)(3x−1)x−1+(x+1)(3x−1)x+(1−(x+1)(3x−1)x(x−1))(x+1)(−1+2(x+1)x−1+x+1x)x(1+(x+1)2x2(x−1)4)(x−1)3)x2(1+(x+1)2x2(x−1)4)(x−1)3)=6\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(- 3 x + 1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 2\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x - 1} + \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x} + \frac{\left(1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x + 1\right) \left(-1 + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1} + \frac{x + 1}{x}\right)}{x \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right)}{x^{2} \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = 6
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
lim⁡x→1−(2(−3x+1−(x+1)(3x−2)x−1+2(x+1)(3x−1)x−1+(x+1)(3x−1)x+(1−(x+1)(3x−1)x(x−1))(x+1)(−1+2(x+1)x−1+x+1x)x(1+(x+1)2x2(x−1)4)(x−1)3)x2(1+(x+1)2x2(x−1)4)(x−1)3)=−1\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- 3 x + 1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 2\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x - 1} + \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x} + \frac{\left(1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x + 1\right) \left(-1 + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1} + \frac{x + 1}{x}\right)}{x \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right)}{x^{2} \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = -1
lim⁡x→1+(2(−3x+1−(x+1)(3x−2)x−1+2(x+1)(3x−1)x−1+(x+1)(3x−1)x+(1−(x+1)(3x−1)x(x−1))(x+1)(−1+2(x+1)x−1+x+1x)x(1+(x+1)2x2(x−1)4)(x−1)3)x2(1+(x+1)2x2(x−1)4)(x−1)3)=−1\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- 3 x + 1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 2\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x - 1} + \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x} + \frac{\left(1 - \frac{\left(x + 1\right) \left(3 x - 1\right)}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x + 1\right) \left(-1 + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1} + \frac{x + 1}{x}\right)}{x \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right)}{x^{2} \left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 1\right)^{4}}\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = -1
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1.96114996069894,∞)\left[1.96114996069894, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−0.311760245086823]∪[0.58926962204328,1.96114996069894]\left(-\infty, -0.311760245086823\right] \cup \left[0.58926962204328, 1.96114996069894\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(x+1x(x−1)2)=0\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x \left(x - 1\right)^{2}} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞atan⁡(x+1x(x−1)2)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x \left(x - 1\right)^{2}} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan((x + 1)/((x*(x - 1)^2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(x+1x(x−1)2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x \left(x - 1\right)^{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(x+1x(x−1)2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x \left(x - 1\right)^{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(x+1x(x−1)2)=−atan⁡(1−xx(−x−1)2)\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x \left(x - 1\right)^{2}} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - x}{x \left(- x - 1\right)^{2}} \right)}
- No
atan⁡(x+1x(x−1)2)=atan⁡(1−xx(−x−1)2)\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x \left(x - 1\right)^{2}} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - x}{x \left(- x - 1\right)^{2}} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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