Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ atan(3*x)*sqrt(2+7*x^2)

Gráfico de la función y = atan(3*x)*sqrt(2+7*x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                    __________
                   /        2 
f(x) = atan(3*x)*\/  2 + 7*x
f(x)=7x2+2atan⁡(3x)f{\left(x \right)} = \sqrt{7 x^{2} + 2} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)} 
f = sqrt(7*x^2 + 2)*atan(3*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
7x2+2atan⁡(3x)=0\sqrt{7 x^{2} + 2} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(3*x)*sqrt(2 + 7*x^2).
7⋅02+2atan⁡(0⋅3)\sqrt{7 \cdot 0^{2} + 2} \operatorname{atan}{\left(0 \cdot 3 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
7xatan⁡(3x)7x2+2+37x2+29x2+1=0\frac{7 x \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{\sqrt{7 x^{2} + 2}} + \frac{3 \sqrt{7 x^{2} + 2}}{9 x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−54x7x2+2(9x2+1)2+42x7x2+2(9x2+1)−7(7x27x2+2−1)atan⁡(3x)7x2+2=0- \frac{54 x \sqrt{7 x^{2} + 2}}{\left(9 x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{42 x}{\sqrt{7 x^{2} + 2} \left(9 x^{2} + 1\right)} - \frac{7 \left(\frac{7 x^{2}}{7 x^{2} + 2} - 1\right) \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{\sqrt{7 x^{2} + 2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−21192.9081055457x_{1} = -21192.9081055457
x2=24714.2770450455x_{2} = 24714.2770450455
x3=35732.6122840995x_{3} = 35732.6122840995
x4=−37296.5389201018x_{4} = -37296.5389201018
x5=−31363.5202102299x_{5} = -31363.5202102299
x6=−33906.2334272629x_{6} = -33906.2334272629
x7=19629.0901928033x_{7} = 19629.0901928033
x8=−16955.3816341667x_{8} = -16955.3816341667
x9=−17802.8678954976x_{9} = -17802.8678954976
x10=−14413.0071492038x_{10} = -14413.0071492038
x11=30647.1800707094x_{11} = 30647.1800707094
x12=18781.5823628363x_{12} = 18781.5823628363
x13=−35601.3835069982x_{13} = -35601.3835069982
x14=28104.4903511777x_{14} = 28104.4903511777
x15=28952.0511758084x_{15} = 28952.0511758084
x16=−18650.3649832867x_{16} = -18650.3649832867
x17=−26278.1519317793x_{17} = -26278.1519317793
x18=−15260.4488922199x_{18} = -15260.4488922199
x19=34885.0363166939x_{19} = 34885.0363166939
x20=−28820.8246575076x_{20} = -28820.8246575076
x21=−33058.6606451829x_{21} = -33058.6606451829
x22=0x_{22} = 0
x23=23866.7328263249x_{23} = 23866.7328263249
x24=−10176.2117746573x_{24} = -10176.2117746573
x25=41665.6763970166x_{25} = 41665.6763970166
x26=−22887.970392026x_{26} = -22887.970392026
x27=32342.3173535636x_{27} = 32342.3173535636
x28=−42382.0307330876x_{28} = -42382.0307330876
x29=16239.1199276028x_{29} = 16239.1199276028
x30=−36448.9605936149x_{30} = -36448.9605936149
x31=15391.6584703379x_{31} = 15391.6584703379
x32=37427.7680782527x_{32} = 37427.7680782527
x33=−38991.6989677859x_{33} = -38991.6989677859
x34=17934.0837371206x_{34} = 17934.0837371206
x35=−32211.0895276001x_{35} = -32211.0895276001
x36=−38144.1184034206x_{36} = -38144.1184034206
x37=−39839.2805438909x_{37} = -39839.2805438909
x38=26409.3771181636x_{38} = 26409.3771181636
x39=21324.1290382513x_{39} = 21324.1290382513
x40=29799.6144847606x_{40} = 29799.6144847606
x41=−30515.952843954x_{41} = -30515.952843954
x42=36580.1895679058x_{42} = 36580.1895679058
x43=22171.6582666625x_{43} = 22171.6582666625
x44=11154.6819961306x_{44} = 11154.6819961306
x45=40818.092850216x_{45} = 40818.092850216
x46=−11870.8232832343x_{46} = -11870.8232832343
x47=14544.2138620375x_{47} = 14544.2138620375
x48=25561.8252718342x_{48} = 25561.8252718342
x49=−22040.4364150551x_{49} = -22040.4364150551
x50=−27125.7065718174x_{50} = -27125.7065718174
x51=38275.3477332767x_{51} = 38275.3477332767
x52=−41534.4464825005x_{52} = -41534.4464825005
x53=−12718.1895668352x_{53} = -12718.1895668352
x54=12002.0173707886x_{54} = 12002.0173707886
x55=13696.7892722034x_{55} = 13696.7892722034
x56=−11023.4941983061x_{56} = -11023.4941983061
x57=10307.3916271752x_{57} = 10307.3916271752
x58=−34753.8077514322x_{58} = -34753.8077514322
x59=17086.5956998913x_{59} = 17086.5956998913
x60=−19497.8714726048x_{60} = -19497.8714726048
x61=−24583.0529863981x_{61} = -24583.0529863981
x62=−40686.8630682292x_{62} = -40686.8630682292
x63=39970.5101847759x_{63} = 39970.5101847759
x64=27256.9322441513x_{64} = 27256.9322441513
x65=−23735.5094247244x_{65} = -23735.5094247244
x66=20476.6060739943x_{66} = 20476.6060739943
x67=−16107.9079275032x_{67} = -16107.9079275032
x68=−13565.5859831336x_{68} = -13565.5859831336
x69=−29668.3875969999x_{69} = -29668.3875969999
x70=−25430.6006210148x_{70} = -25430.6006210148
x71=−20345.3861780714x_{71} = -20345.3861780714
x72=33189.88873667x_{72} = 33189.88873667
x73=12849.3887184958x_{73} = 12849.3887184958
x74=34037.4617645472x_{74} = 34037.4617645472
x75=42513.2607722411x_{75} = 42513.2607722411
x76=−27973.264236565x_{76} = -27973.264236565
x77=31494.7477487745x_{77} = 31494.7477487745
x78=39122.9284582409x_{78} = 39122.9284582409
x79=23019.1930618702x_{79} = 23019.1930618702

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[31494.7477487745,∞)\left[31494.7477487745, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−38144.1184034206]\left(-\infty, -38144.1184034206\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(7x2+2atan⁡(3x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{7 x^{2} + 2} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(7x2+2atan⁡(3x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{7 x^{2} + 2} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(3*x)*sqrt(2 + 7*x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(7x2+2atan⁡(3x)x)=7π2\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{7 x^{2} + 2} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{x}\right) = \frac{\sqrt{7} \pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=7πx2y = \frac{\sqrt{7} \pi x}{2}
lim⁡x→∞(7x2+2atan⁡(3x)x)=7π2\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{7 x^{2} + 2} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{x}\right) = \frac{\sqrt{7} \pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=7πx2y = \frac{\sqrt{7} \pi x}{2}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
7x2+2atan⁡(3x)=−7x2+2atan⁡(3x)\sqrt{7 x^{2} + 2} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)} = - \sqrt{7 x^{2} + 2} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}
- No
7x2+2atan⁡(3x)=7x2+2atan⁡(3x)\sqrt{7 x^{2} + 2} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)} = \sqrt{7 x^{2} + 2} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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