Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cot(1/x^9)

Gráfico de la función y = cot(1/x^9)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /1 \
f(x) = cot|--|
          | 9|
          \x /
f(x)=cot⁡(1x9)f{\left(x \right)} = \cot{\left(\frac{1}{x^{9}} \right)} 
f = cot(1/(x^9))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20000000002000000000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cot⁡(1x9)=0\cot{\left(\frac{1}{x^{9}} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=29π9x_{1} = \frac{\sqrt[9]{2}}{\sqrt[9]{\pi}}
Solución numérica
x1=−0.951062159670459x_{1} = -0.951062159670459
x2=0.951062159670459x_{2} = 0.951062159670459
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cot(1/(x^9)).
cot⁡(109)\cot{\left(\frac{1}{0^{9}} \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−9(−cot⁡2(1x9)−1)x10=0- \frac{9 \left(- \cot^{2}{\left(\frac{1}{x^{9}} \right)} - 1\right)}{x^{10}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
18(−5+9cot⁡(1x9)x9)(cot⁡2(1x9)+1)x11=0\frac{18 \left(-5 + \frac{9 \cot{\left(\frac{1}{x^{9}} \right)}}{x^{9}}\right) \left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x^{9}} \right)} + 1\right)}{x^{11}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−0.98897691127185x_{1} = -0.98897691127185
x2=0.98897691127185x_{2} = 0.98897691127185
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

True

True

- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0.98897691127185,∞)\left[0.98897691127185, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−0.98897691127185]\left(-\infty, -0.98897691127185\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cot⁡(1x9)=−∞\lim_{x \to -\infty} \cot{\left(\frac{1}{x^{9}} \right)} = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞cot⁡(1x9)=∞\lim_{x \to \infty} \cot{\left(\frac{1}{x^{9}} \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cot(1/(x^9)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cot⁡(1x9)x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{1}{x^{9}} \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(cot⁡(1x9)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{1}{x^{9}} \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cot⁡(1x9)=−cot⁡(1x9)\cot{\left(\frac{1}{x^{9}} \right)} = - \cot{\left(\frac{1}{x^{9}} \right)}
- No
cot⁡(1x9)=cot⁡(1x9)\cot{\left(\frac{1}{x^{9}} \right)} = \cot{\left(\frac{1}{x^{9}} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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