Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ln(cos^2x)

Gráfico de la función y = ln(cos^2x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /   2   \
f(x) = log\cos (x)/
f(x)=log⁡(cos⁡2(x))f{\left(x \right)} = \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)} 
f = log(cos(x)^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(cos⁡2(x))=0\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
x3=2πx_{3} = 2 \pi
Solución numérica
x1=−65.9734457648386x_{1} = -65.9734457648386
x2=−18.8495565116576x_{2} = -18.8495565116576
x3=−100.53096457631x_{3} = -100.53096457631
x4=−87.9645943584596x_{4} = -87.9645943584596
x5=9.42477834784266x_{5} = 9.42477834784266
x6=−47.1238887896178x_{6} = -47.1238887896178
x7=40.8407041550563x_{7} = 40.8407041550563
x8=53.4070741478622x_{8} = 53.4070741478622
x9=87.9645943360512x_{9} = 87.9645943360512
x10=91.1061864073649x_{10} = 91.1061864073649
x11=59.6902606235069x_{11} = 59.6902606235069
x12=69.1150378238503x_{12} = 69.1150378238503
x13=−40.8407039100223x_{13} = -40.8407039100223
x14=25.1327418431203x_{14} = 25.1327418431203
x15=9.42477832891555x_{15} = 9.42477832891555
x16=18.8495570029843x_{16} = 18.8495570029843
x17=62.831852735923x_{17} = 62.831852735923
x18=−31.4159267264704x_{18} = -31.4159267264704
x19=−12.5663716386669x_{19} = -12.5663716386669
x20=−78.5398159953694x_{20} = -78.5398159953694
x21=25.1327406563971x_{21} = 25.1327406563971
x22=−3.14159300683281x_{22} = -3.14159300683281
x23=−69.1150387500801x_{23} = -69.1150387500801
x24=9.4247769576896x_{24} = 9.4247769576896
x25=−91.1061859802604x_{25} = -91.1061859802604
x26=53.4070754913975x_{26} = 53.4070754913975
x27=40.8407056026057x_{27} = 40.8407056026057
x28=−78.5398174338057x_{28} = -78.5398174338057
x29=−53.4070753064322x_{29} = -53.4070753064322
x30=56.5486675932357x_{30} = 56.5486675932357
x31=6.28318528416623x_{31} = 6.28318528416623
x32=12.5663704334084x_{32} = 12.5663704334084
x33=75.3982227418079x_{33} = 75.3982227418079
x34=−9.42477814652397x_{34} = -9.42477814652397
x35=62.8318542034359x_{35} = 62.8318542034359
x36=−75.3982238864105x_{36} = -75.3982238864105
x37=−94.2477794374461x_{37} = -94.2477794374461
x38=65.9734457530642x_{38} = 65.9734457530642
x39=31.4159269101267x_{39} = 31.4159269101267
x40=−34.5575202359721x_{40} = -34.5575202359721
x41=−72.256630857317x_{41} = -72.256630857317
x42=−53.4070742959952x_{42} = -53.4070742959952
x43=84.82300131674x_{43} = 84.82300131674
x44=31.4159255531763x_{44} = 31.4159255531763
x45=−9.42477796310118x_{45} = -9.42477796310118
x46=−62.8318536803612x_{46} = -62.8318536803612
x47=−12.5663702522378x_{47} = -12.5663702522378
x48=37.6991120433529x_{48} = 37.6991120433529
x49=−56.5486674143785x_{49} = -56.5486674143785
x50=3.1415932585699x_{50} = 3.1415932585699
x51=−28.2743336970608x_{51} = -28.2743336970608
x52=−75.3982226597999x_{52} = -75.3982226597999
x53=−62.8318524940769x_{53} = -62.8318524940769
x54=−25.1327401930409x_{54} = -25.1327401930409
x55=78.5398161731332x_{55} = 78.5398161731332
x56=97.3893713350675x_{56} = 97.3893713350675
x57=0x_{57} = 0
x58=18.8495555741382x_{58} = 18.8495555741382
x59=−81.6814090384469x_{59} = -81.6814090384469
x60=−56.5486688343165x_{60} = -56.5486688343165
x61=21.9911485852153x_{61} = 21.9911485852153
x62=−18.8495553258088x_{62} = -18.8495553258088
x63=43.9822971695019x_{63} = 43.9822971695019
x64=34.5575190133278x_{64} = 34.5575190133278
x65=−37.6991118773736x_{65} = -37.6991118773736
x66=50.2654824463311x_{66} = 50.2654824463311
x67=−15.7079632966706x_{67} = -15.7079632966706
x68=28.2743338651582x_{68} = 28.2743338651582
x69=−40.8407050959251x_{69} = -40.8407050959251
x70=47.1238904278493x_{70} = 47.1238904278493
x71=69.1150390127643x_{71} = 69.1150390127643
x72=91.106187597873x_{72} = 91.106187597873
x73=−3.14159159553391x_{73} = -3.14159159553391
x74=−84.8230010779785x_{74} = -84.8230010779785
x75=47.1238892401961x_{75} = 47.1238892401961
x76=−34.5575188333352x_{76} = -34.5575188333352
x77=−84.8230022649727x_{77} = -84.8230022649727
x78=−25.1327415878584x_{78} = -25.1327415878584
x79=3.14159207244778x_{79} = 3.14159207244778
x80=75.39822407273x_{80} = 75.39822407273
x81=−69.1150373853363x_{81} = -69.1150373853363
x82=−21.991148586432x_{82} = -21.991148586432
x83=−50.2654822771894x_{83} = -50.2654822771894
x84=−91.1061873312798x_{84} = -91.1061873312798
x85=−59.6902604579606x_{85} = -59.6902604579606
x86=−43.9822971744998x_{86} = -43.9822971744998
x87=100.530964753022x_{87} = 100.530964753022
x88=81.681409203672x_{88} = 81.681409203672
x89=94.2477796093522x_{89} = 94.2477796093522
x90=72.2566310277163x_{90} = 72.2566310277163
x91=97.389372654126x_{91} = 97.389372654126
x92=15.7079634632083x_{92} = 15.7079634632083
x93=−6.28318511692891x_{93} = -6.28318511692891
x94=−47.1238901689402x_{94} = -47.1238901689402
x95=−31.4159260171396x_{95} = -31.4159260171396
x96=−97.3893724664065x_{96} = -97.3893724664065
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(cos(x)^2).
log⁡(cos⁡2(0))\log{\left(\cos^{2}{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(x)cos⁡(x)=0- \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

(pi, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(sin⁡2(x)cos⁡2(x)+1)=0- 2 \left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(cos⁡2(x))=log⁡(⟨0,1⟩)\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle 0, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=log⁡(⟨0,1⟩)y = \log{\left(\left\langle 0, 1\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞log⁡(cos⁡2(x))=log⁡(⟨0,1⟩)\lim_{x \to \infty} \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle 0, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log⁡(⟨0,1⟩)y = \log{\left(\left\langle 0, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(cos(x)^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(cos⁡2(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(cos⁡2(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(cos⁡2(x))=log⁡(cos⁡2(x))\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}
- Sí
log⁡(cos⁡2(x))=−log⁡(cos⁡2(x))\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}
- No
es decir, función
es
par
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