Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x(x-1)(x-2)

Gráfico de la función y = x(x-1)(x-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = x*(x - 1)*(x - 2)
f(x)=x(x−1)(x−2)f{\left(x \right)} = x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) 
f = (x*(x - 1))*(x - 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(x−1)(x−2)=0x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
x3=2x_{3} = 2
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
x3=2x_{3} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x*(x - 1))*(x - 2).
(−2)(−1)0\left(-2\right) \left(-1\right) 0
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x(x−1)+(x−2)(2x−1)=0x \left(x - 1\right) + \left(x - 2\right) \left(2 x - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1−33x_{1} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}
x2=33+1x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} + 1
Signos de extremos en los puntos:
                   /      ___\ /       ___\  
               ___ |    \/ 3 | |     \/ 3 |  
       ___  -\/ 3 *|1 - -----|*|-1 - -----|  
     \/ 3          \      3  / \       3  /  
(1 - -----, --------------------------------)
       3                   3                 

                  /      ___\ /       ___\ 
              ___ |    \/ 3 | |     \/ 3 | 
       ___  \/ 3 *|1 + -----|*|-1 + -----| 
     \/ 3         \      3  / \       3  / 
(1 + -----, ------------------------------)
       3                  3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=33+1x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{3} + 1
Puntos máximos de la función:
x1=1−33x_{1} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,1−33]∪[33+1,∞)\left(-\infty, 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3} + 1, \infty\right)
Crece en los intervalos
[1−33,33+1]\left[1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3} + 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(x−1)=06 \left(x - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(x−1)(x−2))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x(x−1)(x−2))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*(x - 1))*(x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−2)(x−1))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x−2)(x−1))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(x−1)(x−2)=−x(−x−2)(−x−1)x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) = - x \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)
- No
x(x−1)(x−2)=x(−x−2)(−x−1)x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) = x \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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