Gráfico de la función y = x(x-1)(x-2)

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f(x) = x*(x - 1)*(x - 2)

$$f{\left(x \right)} = x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right)$$

f = (x*(x - 1))*(x - 2)

Gráfico de la función

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x*(x - 1))*(x - 2).
$$\left(-2\right) \left(-1\right) 0$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:

(0, 0)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$x \left(x - 1\right) + \left(x - 2\right) \left(2 x - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} + 1$$
Signos de extremos en los puntos:

                   /      ___\ /       ___\  
               ___ |    \/ 3 | |     \/ 3 |  
       ___  -\/ 3 *|1 - -----|*|-1 - -----|  
     \/ 3          \      3  / \       3  /  
(1 - -----, --------------------------------)
       3                   3

                  /      ___\ /       ___\ 
              ___ |    \/ 3 | |     \/ 3 | 
       ___  \/ 3 *|1 + -----|*|-1 + -----| 
     \/ 3         \      3  / \       3  / 
(1 + -----, ------------------------------)
       3                  3

Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{3} + 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3} + 1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3} + 1\right]$$

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(x - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right]$$

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*(x - 1))*(x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) = - x \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)$$
- No
$$x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) = x \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Gráfico de la función y = x(x-1)(x-2)

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución