Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1+(cos(3*x)+sin(3*x))*exp(-2*x)

Gráfico de la función y = 1+(cos(3*x)+sin(3*x))*exp(-2*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                                  -2*x
f(x) = 1 + (cos(3*x) + sin(3*x))*e
f(x)=(sin⁡(3x)+cos⁡(3x))e−2x+1f{\left(x \right)} = \left(\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- 2 x} + 1 
f = (sin(3*x) + cos(3*x))*exp(-2*x) + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500000000500000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(sin⁡(3x)+cos⁡(3x))e−2x+1=0\left(\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- 2 x} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−9.68657734765922x_{1} = -9.68657734765922
x2=−15.9697626557481x_{2} = -15.9697626557481
x3=−3.403131160886x_{3} = -3.403131160886
x4=−7.59218218621306x_{4} = -7.59218218621306
x5=−13.8753675533547x_{5} = -13.8753675533547
x6=−1.29117008502402x_{6} = -1.29117008502402
x7=−5.49778318966124x_{7} = -5.49778318966124
x8=−11.7809724509479x_{8} = -11.7809724509479
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1 + (cos(3*x) + sin(3*x))*exp(-2*x).
1+(sin⁡(0⋅3)+cos⁡(0⋅3))e−01 + \left(\sin{\left(0 \cdot 3 \right)} + \cos{\left(0 \cdot 3 \right)}\right) e^{- 0}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−3sin⁡(3x)+3cos⁡(3x))e−2x−2(sin⁡(3x)+cos⁡(3x))e−2x=0\left(- 3 \sin{\left(3 x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- 2 x} - 2 \left(\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- 2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(15)3x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{5} \right)}}{3}
Signos de extremos en los puntos:
                          -2*atan(1/5) 
                          ------------ 
                    ____       3       
 atan(1/5)      3*\/ 26 *e             
(---------, 1 + ----------------------)
     3                    13


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=atan⁡(15)3x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{5} \right)}}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,atan⁡(15)3]\left(-\infty, \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{5} \right)}}{3}\right]
Crece en los intervalos
[atan⁡(15)3,∞)\left[\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{5} \right)}}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(7sin⁡(3x)−17cos⁡(3x))e−2x=0\left(7 \sin{\left(3 x \right)} - 17 \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- 2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(177)3x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{17}{7} \right)}}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[atan⁡(177)3,∞)\left[\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{17}{7} \right)}}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,atan⁡(177)3]\left(-\infty, \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{17}{7} \right)}}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((sin⁡(3x)+cos⁡(3x))e−2x+1)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- 2 x} + 1\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞((sin⁡(3x)+cos⁡(3x))e−2x+1)=1\lim_{x \to \infty}\left(\left(\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- 2 x} + 1\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 + (cos(3*x) + sin(3*x))*exp(-2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞((sin⁡(3x)+cos⁡(3x))e−2x+1x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- 2 x} + 1}{x}\right)
lim⁡x→∞((sin⁡(3x)+cos⁡(3x))e−2x+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- 2 x} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(sin⁡(3x)+cos⁡(3x))e−2x+1=(−sin⁡(3x)+cos⁡(3x))e2x+1\left(\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- 2 x} + 1 = \left(- \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{2 x} + 1
- No
(sin⁡(3x)+cos⁡(3x))e−2x+1=−(−sin⁡(3x)+cos⁡(3x))e2x−1\left(\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- 2 x} + 1 = - \left(- \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{2 x} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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