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Trazado el gráfico de la función/ log(log|x^2|)

Gráfico de la función y = log(log|x^2|)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /   /| 2|\\
f(x) = log\log\|x |//
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\log{\left(\left|{x^{2}}\right| \right)} \right)}$$ 
f = log(log(|x^2|))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(\log{\left(\left|{x^{2}}\right| \right)} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - e^{\frac{1}{2}}$$
$$x_{2} = e^{\frac{1}{2}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.64872127070013$$
$$x_{2} = 1.64872127070013$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(log(|x^2|)).
$$\log{\left(\log{\left(\left|{0^{2}}\right| \right)} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{4 x^{2} \delta\left(x^{2}\right)}{\left|{x^{2}}\right|} + \frac{\operatorname{sign}{\left(x^{2} \right)}}{\left|{x^{2}}\right|} - \frac{2 \operatorname{sign}^{2}{\left(x^{2} \right)}}{x^{2}} - \frac{2 \operatorname{sign}^{2}{\left(x^{2} \right)}}{x^{2} \log{\left(\left|{x^{2}}\right| \right)}}\right)}{\log{\left(\left|{x^{2}}\right| \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{-1}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{-1}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[e^{-1}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\log{\left(\left|{x^{2}}\right| \right)} \right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\log{\left(\left|{x^{2}}\right| \right)} \right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(log(|x^2|)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\log{\left(\left|{x^{2}}\right| \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\log{\left(\left|{x^{2}}\right| \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\log{\left(\left|{x^{2}}\right| \right)} \right)} = \log{\left(\log{\left(\left|{x^{2}}\right| \right)} \right)}$$
- Sí
$$\log{\left(\log{\left(\left|{x^{2}}\right| \right)} \right)} = - \log{\left(\log{\left(\left|{x^{2}}\right| \right)} \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
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