Sr Examen

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tan(x/4)
Trazado el gráfico de la función/ tan(x/4)

Gráfico de la función y = tan(x/4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x\
f(x) = tan|-|
          \4/
f(x)=tan⁡(x4)f{\left(x \right)} = \tan{\left(\frac{x}{4} \right)} 
f = tan(x/4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
tan⁡(x4)=0\tan{\left(\frac{x}{4} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−25.1327412287183x_{1} = -25.1327412287183
x2=87.9645943005142x_{2} = 87.9645943005142
x3=25.1327412287183x_{3} = 25.1327412287183
x4=−37.6991118430775x_{4} = -37.6991118430775
x5=100.530964914873x_{5} = 100.530964914873
x6=37.6991118430775x_{6} = 37.6991118430775
x7=0x_{7} = 0
x8=−100.530964914873x_{8} = -100.530964914873
x9=62.8318530717959x_{9} = 62.8318530717959
x10=50.2654824574367x_{10} = 50.2654824574367
x11=−62.8318530717959x_{11} = -62.8318530717959
x12=75.398223686155x_{12} = 75.398223686155
x13=−50.2654824574367x_{13} = -50.2654824574367
x14=−75.398223686155x_{14} = -75.398223686155
x15=−12.5663706143592x_{15} = -12.5663706143592
x16=12.5663706143592x_{16} = 12.5663706143592
x17=−87.9645943005142x_{17} = -87.9645943005142
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en tan(x/4).
tan⁡(04)\tan{\left(\frac{0}{4} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
tan⁡2(x4)4+14=0\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4} + \frac{1}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(tan⁡2(x4)+1)tan⁡(x4)8=0\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{4} \right)}}{8} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞tan⁡(x4)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty} \tan{\left(\frac{x}{4} \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞tan⁡(x4)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty} \tan{\left(\frac{x}{4} \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función tan(x/4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(tan⁡(x4)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{4} \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(tan⁡(x4)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{4} \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
tan⁡(x4)=−tan⁡(x4)\tan{\left(\frac{x}{4} \right)} = - \tan{\left(\frac{x}{4} \right)}
- No
tan⁡(x4)=tan⁡(x4)\tan{\left(\frac{x}{4} \right)} = \tan{\left(\frac{x}{4} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = tan(x/4)
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