Sr Examen

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tan(x/4)
Trazado el gráfico de la función/ tan(x/4)

Gráfico de la función y = tan(x/4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x\
f(x) = tan|-|
          \4/
$$f{\left(x \right)} = \tan{\left(\frac{x}{4} \right)}$$ 
f = tan(x/4)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\tan{\left(\frac{x}{4} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = -25.1327412287183$$
$$x_{2} = 87.9645943005142$$
$$x_{3} = 25.1327412287183$$
$$x_{4} = -37.6991118430775$$
$$x_{5} = 100.530964914873$$
$$x_{6} = 37.6991118430775$$
$$x_{7} = 0$$
$$x_{8} = -100.530964914873$$
$$x_{9} = 62.8318530717959$$
$$x_{10} = 50.2654824574367$$
$$x_{11} = -62.8318530717959$$
$$x_{12} = 75.398223686155$$
$$x_{13} = -50.2654824574367$$
$$x_{14} = -75.398223686155$$
$$x_{15} = -12.5663706143592$$
$$x_{16} = 12.5663706143592$$
$$x_{17} = -87.9645943005142$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en tan(x/4).
$$\tan{\left(\frac{0}{4} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4} + \frac{1}{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{4} \right)}}{8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \tan{\left(\frac{x}{4} \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \tan{\left(\frac{x}{4} \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función tan(x/4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{4} \right)}}{x}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{4} \right)}}{x}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\tan{\left(\frac{x}{4} \right)} = - \tan{\left(\frac{x}{4} \right)}$$
- No
$$\tan{\left(\frac{x}{4} \right)} = \tan{\left(\frac{x}{4} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = tan(x/4)
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