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Trazado el gráfico de la función/ cbrt(x)-cbrt(x+2)

Gráfico de la función y = cbrt(x)-cbrt(x+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       3 ___   3 _______
f(x) = \/ x  - \/ x + 2
f(x)=x3−x+23f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x + 2} 
f = x^(1/3) - (x + 2)^(1/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1.00.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3−x+23=0\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^(1/3) - (x + 2)^(1/3).
−23+03- \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{0}
Resultado:
f(0)=−23f{\left(0 \right)} = - \sqrt[3]{2}
Punto:
(0, -2^(1/3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−13(x+2)23+13x23=0- \frac{1}{3 \left(x + 2\right)^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1(x+2)53−1x53)9=0\frac{2 \left(\frac{1}{\left(x + 2\right)^{\frac{5}{3}}} - \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}\right)}{9} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x3−x+23)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x + 2}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x3−x+23)=0\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x + 2}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^(1/3) - (x + 2)^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x3−x+23x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x + 2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x3−x+23x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x + 2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3−x+23=−x3−2−x3\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x + 2} = \sqrt[3]{- x} - \sqrt[3]{2 - x}
- No
x3−x+23=−−x3+2−x3\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x + 2} = - \sqrt[3]{- x} + \sqrt[3]{2 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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