Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cbrt(x)(1-x^3)

Gráfico de la función y = cbrt(x)(1-x^3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       3 ___ /     3\
f(x) = \/ x *\1 - x /
f(x)=x3(1−x3)f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x} \left(1 - x^{3}\right) 
f = x^(1/3)*(1 - x^3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3(1−x3)=0\sqrt[3]{x} \left(1 - x^{3}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
x3=(−12−3i2)3x_{3} = \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)^{3}
x4=(−12+3i2)3x_{4} = \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)^{3}
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^(1/3)*(1 - x^3).
03(1−03)\sqrt[3]{0} \left(1 - 0^{3}\right)
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3x73+1−x33x23=0- 3 x^{\frac{7}{3}} + \frac{1 - x^{3}}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=102310x_{1} = \frac{10^{\frac{2}{3}}}{10}
Signos de extremos en los puntos:
   2/3      8/9 
 10     9*10    
(-----, -------)
   10     100


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=102310x_{1} = \frac{10^{\frac{2}{3}}}{10}
Decrece en los intervalos
(−∞,102310]\left(-\infty, \frac{10^{\frac{2}{3}}}{10}\right]
Crece en los intervalos
[102310,∞)\left[\frac{10^{\frac{2}{3}}}{10}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−4x43+x3−19x53)=02 \left(- 4 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{3} - 1}{9 x^{\frac{5}{3}}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−352335x_{1} = - \frac{35^{\frac{2}{3}}}{35}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−352335]\left(-\infty, - \frac{35^{\frac{2}{3}}}{35}\right]
Convexa en los intervalos
[−352335,∞)\left[- \frac{35^{\frac{2}{3}}}{35}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x3(1−x3))=∞−13\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt[3]{x} \left(1 - x^{3}\right)\right) = \infty \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=∞−13y = \infty \sqrt[3]{-1}
lim⁡x→∞(x3(1−x3))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt[3]{x} \left(1 - x^{3}\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^(1/3)*(1 - x^3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1−x3x23)=−∞−13\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - x^{3}}{x^{\frac{2}{3}}}\right) = - \infty \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−∞−13xy = - \infty \sqrt[3]{-1} x
lim⁡x→∞(1−x3x23)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - x^{3}}{x^{\frac{2}{3}}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3(1−x3)=−x3(x3+1)\sqrt[3]{x} \left(1 - x^{3}\right) = \sqrt[3]{- x} \left(x^{3} + 1\right)
- No
x3(1−x3)=−−x3(x3+1)\sqrt[3]{x} \left(1 - x^{3}\right) = - \sqrt[3]{- x} \left(x^{3} + 1\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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