Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cbrt((4-x)*(x^2-8*x+13))

Gráfico de la función y = cbrt((4-x)*(x^2-8*x+13))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          _________________________
       3 /         / 2           \ 
f(x) = \/  (4 - x)*\x  - 8*x + 13/
f(x)=(4−x)((x2−8x)+13)3f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{\left(4 - x\right) \left(\left(x^{2} - 8 x\right) + 13\right)} 
f = ((4 - x)*(x^2 - 8*x + 13))^(1/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(4−x)((x2−8x)+13)3=0\sqrt[3]{\left(4 - x\right) \left(\left(x^{2} - 8 x\right) + 13\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=4−i3−1i3x_{1} = 4 - \sqrt[3]{i} - \frac{1}{\sqrt[3]{i}}
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((4 - x)*(x^2 - 8*x + 13))^(1/3).
(4−0)((02−0)+13)3\sqrt[3]{\left(4 - 0\right) \left(\left(0^{2} - 0\right) + 13\right)}
Resultado:
f(0)=523f{\left(0 \right)} = \sqrt[3]{52}
Punto:
(0, 52^(1/3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(4−x)((x2−8x)+13)3(−x23+8x3+(4−x)(2x−8)3−133)(4−x)((x2−8x)+13)=0\frac{\sqrt[3]{\left(4 - x\right) \left(\left(x^{2} - 8 x\right) + 13\right)} \left(- \frac{x^{2}}{3} + \frac{8 x}{3} + \frac{\left(4 - x\right) \left(2 x - 8\right)}{3} - \frac{13}{3}\right)}{\left(4 - x\right) \left(\left(x^{2} - 8 x\right) + 13\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(4−x)((x2−8x)+13)3=∞\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\left(4 - x\right) \left(\left(x^{2} - 8 x\right) + 13\right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(4−x)((x2−8x)+13)3=∞−13\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\left(4 - x\right) \left(\left(x^{2} - 8 x\right) + 13\right)} = \infty \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=∞−13y = \infty \sqrt[3]{-1}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((4 - x)*(x^2 - 8*x + 13))^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((4−x)((x2−8x)+13)3x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\left(4 - x\right) \left(\left(x^{2} - 8 x\right) + 13\right)}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞((4−x)((x2−8x)+13)3x)=−13\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\left(4 - x\right) \left(\left(x^{2} - 8 x\right) + 13\right)}}{x}\right) = \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−13xy = \sqrt[3]{-1} x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(4−x)((x2−8x)+13)3=(x+4)(x2+8x+13)3\sqrt[3]{\left(4 - x\right) \left(\left(x^{2} - 8 x\right) + 13\right)} = \sqrt[3]{\left(x + 4\right) \left(x^{2} + 8 x + 13\right)}
- No
(4−x)((x2−8x)+13)3=−(x+4)(x2+8x+13)3\sqrt[3]{\left(4 - x\right) \left(\left(x^{2} - 8 x\right) + 13\right)} = - \sqrt[3]{\left(x + 4\right) \left(x^{2} + 8 x + 13\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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