Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cbrt((x^3)-(x^2)-x+1)

Gráfico de la función y = cbrt((x^3)-(x^2)-x+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          _________________
       3 /  3    2         
f(x) = \/  x  - x  - x + 1
f(x)=(−x+(x3−x2))+13f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1} 
f = (-x + x^3 - x^2 + 1)^(1/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−x+(x3−x2))+13=0\sqrt[3]{\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=23−3i3−23(−12+3i2)x_{2} = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} - \frac{2}{3 \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)}
x3=23−23(−12−3i2)+3i3x_{3} = \frac{2}{3} - \frac{2}{3 \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)} + \frac{\sqrt{3} i}{3}
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^3 - x^2 - x + 1)^(1/3).
((03−02)−0)+13\sqrt[3]{\left(\left(0^{3} - 0^{2}\right) - 0\right) + 1}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x2−2x3−13((−x+(x3−x2))+1)23=0\frac{x^{2} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}}{\left(\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1\right)^{\frac{2}{3}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−13x_{1} = - \frac{1}{3}
Signos de extremos en los puntos:
          2/3 
       2*2    
(-1/3, ------)
         3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−13x_{1} = - \frac{1}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−13]\left(-\infty, - \frac{1}{3}\right]
Crece en los intervalos
[−13,∞)\left[- \frac{1}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(x−(−3x2+2x+1)29(x3−x2−x+1)−13)(x3−x2−x+1)23=0\frac{2 \left(x - \frac{\left(- 3 x^{2} + 2 x + 1\right)^{2}}{9 \left(x^{3} - x^{2} - x + 1\right)} - \frac{1}{3}\right)}{\left(x^{3} - x^{2} - x + 1\right)^{\frac{2}{3}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x+(x3−x2))+13=∞−13\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1} = \infty \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=∞−13y = \infty \sqrt[3]{-1}
lim⁡x→∞(−x+(x3−x2))+13=∞\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 - x^2 - x + 1)^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−x+(x3−x2))+13x)=−−13\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1}}{x}\right) = - \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−−13xy = - \sqrt[3]{-1} x
lim⁡x→∞((−x+(x3−x2))+13x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−x+(x3−x2))+13=−x3−x2+x+13\sqrt[3]{\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1} = \sqrt[3]{- x^{3} - x^{2} + x + 1}
- No
(−x+(x3−x2))+13=−−x3−x2+x+13\sqrt[3]{\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1} = - \sqrt[3]{- x^{3} - x^{2} + x + 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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