Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cbrt(x^2)*(x+5)

Gráfico de la función y = cbrt(x^2)*(x+5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ____        
       3 /  2         
f(x) = \/  x  *(x + 5)
f(x)=(x+5)x23f{\left(x \right)} = \left(x + 5\right) \sqrt[3]{x^{2}} 
f = (x + 5)*(x^2)^(1/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x+5)x23=0\left(x + 5\right) \sqrt[3]{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−5x_{1} = -5
x2=0x_{2} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=−5x_{2} = -5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2)^(1/3)*(x + 5).
50235 \sqrt[3]{0^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x23+2(x+5)∣x∣233x=0\sqrt[3]{x^{2}} + \frac{2 \left(x + 5\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{3 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
Signos de extremos en los puntos:
        2/3 
(-2, 3*2   )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−2x_{1} = -2
Decrece en los intervalos
(−∞,−2]\left(-\infty, -2\right]
Crece en los intervalos
[−2,∞)\left[-2, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2((x+5)(2sign⁡(x)∣x∣3−3∣x∣23x)+6∣x∣23)9x=0\frac{2 \left(\left(x + 5\right) \left(\frac{2 \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x}\right|}} - \frac{3 \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) + 6 \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}\right)}{9 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x+5)x23)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 5\right) \sqrt[3]{x^{2}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x+5)x23)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 5\right) \sqrt[3]{x^{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2)^(1/3)*(x + 5), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+5)∣x∣23x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 5\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x+5)∣x∣23x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 5\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x+5)x23=(5−x)∣x∣23\left(x + 5\right) \sqrt[3]{x^{2}} = \left(5 - x\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}
- No
(x+5)x23=−(5−x)∣x∣23\left(x + 5\right) \sqrt[3]{x^{2}} = - \left(5 - x\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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