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Trazado el gráfico de la función/ cos(x*+1)-sin(2*x)-576

Gráfico de la función y = cos(x*+1)-sin(2*x)-576

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(x) - sin(2*x) - 576
f(x)=(−sin⁡(2x)+cos⁡(x))−576f{\left(x \right)} = \left(- \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 576 
f = -sin(2*x) + cos(x) - 576
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-580-570
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x) - sin(2*x) - 576.
−576+(−sin⁡(0⋅2)+cos⁡(0))-576 + \left(- \sin{\left(0 \cdot 2 \right)} + \cos{\left(0 \right)}\right)
Resultado:
f(0)=−575f{\left(0 \right)} = -575
Punto:
(0, -575)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)−2cos⁡(2x)=0- \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−ilog⁡(−215−338+i(1+33)8)x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} + \frac{i \left(1 + \sqrt{33}\right)}{8} \right)}
x2=−ilog⁡(215−338+i(1+33)8)x_{2} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} + \frac{i \left(1 + \sqrt{33}\right)}{8} \right)}
x3=−ilog⁡(−233+158+i(1−33)8)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} + \frac{i \left(1 - \sqrt{33}\right)}{8} \right)}
x4=−ilog⁡(233+158+i(1−33)8)x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} + \frac{i \left(1 - \sqrt{33}\right)}{8} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
       /           _____________                 \            /     /           _____________                 \\      /       /           _____________                 \\ 
       |    ___   /        ____      /      ____\|            |     |    ___   /        ____      /      ____\||      |       |    ___   /        ____      /      ____\|| 
       |  \/ 2 *\/  15 - \/ 33     I*\1 + \/ 33 /|            |     |  \/ 2 *\/  15 - \/ 33     I*\1 + \/ 33 /||      |       |  \/ 2 *\/  15 - \/ 33     I*\1 + \/ 33 /|| 
(-I*log|- ---------------------- + --------------|, -576 + cos|I*log|- ---------------------- + --------------|| + sin|2*I*log|- ---------------------- + --------------||)
       \            8                    8       /            \     \            8                    8       //      \       \            8                    8       // 

       /                          _____________\            /     /                          _____________\\      /       /                          _____________\\ 
       |  /      ____\     ___   /        ____ |            |     |  /      ____\     ___   /        ____ ||      |       |  /      ____\     ___   /        ____ || 
       |I*\1 + \/ 33 /   \/ 2 *\/  15 - \/ 33  |            |     |I*\1 + \/ 33 /   \/ 2 *\/  15 - \/ 33  ||      |       |I*\1 + \/ 33 /   \/ 2 *\/  15 - \/ 33  || 
(-I*log|-------------- + ----------------------|, -576 + cos|I*log|-------------- + ----------------------|| + sin|2*I*log|-------------- + ----------------------||)
       \      8                    8           /            \     \      8                    8           //      \       \      8                    8           // 

       /           _____________                 \            /     /           _____________                 \\      /       /           _____________                 \\ 
       |    ___   /        ____      /      ____\|            |     |    ___   /        ____      /      ____\||      |       |    ___   /        ____      /      ____\|| 
       |  \/ 2 *\/  15 + \/ 33     I*\1 - \/ 33 /|            |     |  \/ 2 *\/  15 + \/ 33     I*\1 - \/ 33 /||      |       |  \/ 2 *\/  15 + \/ 33     I*\1 - \/ 33 /|| 
(-I*log|- ---------------------- + --------------|, -576 + cos|I*log|- ---------------------- + --------------|| + sin|2*I*log|- ---------------------- + --------------||)
       \            8                    8       /            \     \            8                    8       //      \       \            8                    8       // 

       /                          _____________\            /     /                          _____________\\      /       /                          _____________\\ 
       |  /      ____\     ___   /        ____ |            |     |  /      ____\     ___   /        ____ ||      |       |  /      ____\     ___   /        ____ || 
       |I*\1 - \/ 33 /   \/ 2 *\/  15 + \/ 33  |            |     |I*\1 - \/ 33 /   \/ 2 *\/  15 + \/ 33  ||      |       |I*\1 - \/ 33 /   \/ 2 *\/  15 + \/ 33  || 
(-I*log|-------------- + ----------------------|, -576 + cos|I*log|-------------- + ----------------------|| + sin|2*I*log|-------------- + ----------------------||)
       \      8                    8           /            \     \      8                    8           //      \       \      8                    8           //


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=atan⁡(2(1+33)215−33)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{15 - \sqrt{33}}} \right)}
x2=−π−atan⁡(2(1−33)233+15)x_{2} = - \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}
Puntos máximos de la función:
x2=π−atan⁡(2(1+33)215−33)x_{2} = \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{15 - \sqrt{33}}} \right)}
x2=atan⁡(2(1−33)233+15)x_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}
Decrece en los intervalos
[−π−atan⁡(2(1−33)233+15),atan⁡(2(1−33)233+15)]∪[atan⁡(2(1+33)215−33),∞)\left[- \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{15 - \sqrt{33}}} \right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π−atan⁡(2(1−33)233+15)]\left(-\infty, - \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4sin⁡(2x)−cos⁡(x)=04 \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=−ilog⁡(−378+i8)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{3 \sqrt{7}}{8} + \frac{i}{8} \right)}
x4=−ilog⁡(378+i8)x_{4} = - i \log{\left(\frac{3 \sqrt{7}}{8} + \frac{i}{8} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π−atan⁡(721),∞)\left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{21} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,atan⁡(721)]∪[π2,π−atan⁡(721)]\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{21} \right)}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{21} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−sin⁡(2x)+cos⁡(x))−576)=⟨−578,−574⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 576\right) = \left\langle -578, -574\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−578,−574⟩y = \left\langle -578, -574\right\rangle
lim⁡x→∞((−sin⁡(2x)+cos⁡(x))−576)=⟨−578,−574⟩\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 576\right) = \left\langle -578, -574\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−578,−574⟩y = \left\langle -578, -574\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x) - sin(2*x) - 576, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−sin⁡(2x)+cos⁡(x))−576x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 576}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((−sin⁡(2x)+cos⁡(x))−576x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 576}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−sin⁡(2x)+cos⁡(x))−576=sin⁡(2x)+cos⁡(x)−576\left(- \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 576 = \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} - 576
- No
(−sin⁡(2x)+cos⁡(x))−576=−sin⁡(2x)−cos⁡(x)+576\left(- \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 576 = - \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)} + 576
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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