Gráfico de la función y = exp(lambertw(x^(-2)))

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         /1 \
        W|--|
         | 2|
         \x /
f(x) = e

f{\left(x \right)} = e^{W\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}

f = exp(LambertW(x^(-2)))

Gráfico de la función

Dominio de definición de la función

Puntos en los que la función no está definida exactamente:

x_{1} = 0

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:

e^{W\left(\frac{1}{x^{2}}\right)} = 0

Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(LambertW(x^(-2))).

e^{W\left(\frac{1}{0}\right)}

Resultado:

f{\left(0 \right)} = e^{W\left(\tilde{\infty}\right)}

Punto:

(0, exp(LambertW(±oo)))

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0

(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =

- \frac{2 e^{W\left(\frac{1}{x^{2}}\right)} W\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}{x \left(W\left(\frac{1}{x^{2}}\right) + 1\right)} = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos

Asíntotas verticales

Hay:

x_{1} = 0

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo

\lim_{x \to -\infty} e^{W\left(\frac{1}{x^{2}}\right)} = 1

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:

y = 1

\lim_{x \to \infty} e^{W\left(\frac{1}{x^{2}}\right)} = 1

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:

y = 1

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(LambertW(x^(-2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{W\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}}{x}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{W\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}}{x}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:

e^{W\left(\frac{1}{x^{2}}\right)} = e^{W\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}

- Sí

e^{W\left(\frac{1}{x^{2}}\right)} = - e^{W\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}

- No
es decir, función
es
par