Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ exp(lambertw(x^(-2)))

Gráfico de la función y = exp(lambertw(x^(-2)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         /1 \
        W|--|
         | 2|
         \x /
f(x) = e
$$f{\left(x \right)} = e^{W\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}$$ 
f = exp(LambertW(x^(-2)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$e^{W\left(\frac{1}{x^{2}}\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(LambertW(x^(-2))).
$$e^{W\left(\frac{1}{0}\right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = e^{W\left(\tilde{\infty}\right)}$$
Punto:
(0, exp(LambertW(±oo)))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 e^{W\left(\frac{1}{x^{2}}\right)} W\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}{x \left(W\left(\frac{1}{x^{2}}\right) + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} e^{W\left(\frac{1}{x^{2}}\right)} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} e^{W\left(\frac{1}{x^{2}}\right)} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(LambertW(x^(-2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{W\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{W\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$e^{W\left(\frac{1}{x^{2}}\right)} = e^{W\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}$$
- Sí
$$e^{W\left(\frac{1}{x^{2}}\right)} = - e^{W\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}$$
- No
es decir, función
es
par
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