Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cot(x+pi/6)

Gráfico de la función y = cot(x+pi/6)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /    pi\
f(x) = cot|x + --|
          \    6 /
f(x)=cot⁡(x+π6)f{\left(x \right)} = \cot{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} 
f = cot(x + pi/6)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cot⁡(x+π6)=0\cot{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
Solución numérica
x1=70.162235930172x_{1} = 70.162235930172
x2=−86.9173967493176x_{2} = -86.9173967493176
x3=89.0117918517108x_{3} = 89.0117918517108
x4=−17.8023583703422x_{4} = -17.8023583703422
x5=95.2949771588904x_{5} = 95.2949771588904
x6=−83.7758040957278x_{6} = -83.7758040957278
x7=82.7286065445312x_{7} = 82.7286065445312
x8=79.5870138909414x_{8} = 79.5870138909414
x9=−27.2271363311115x_{9} = -27.2271363311115
x10=76.4454212373516x_{10} = 76.4454212373516
x11=7.33038285837618x_{11} = 7.33038285837618
x12=−64.9262481741891x_{12} = -64.9262481741891
x13=32.4631240870945x_{13} = 32.4631240870945
x14=16.7551608191456x_{14} = 16.7551608191456
x15=38.7463093942741x_{15} = 38.7463093942741
x16=−58.6430628670095x_{16} = -58.6430628670095
x17=60.7374579694027x_{17} = 60.7374579694027
x18=92.1533845053006x_{18} = 92.1533845053006
x19=−5.23598775598299x_{19} = -5.23598775598299
x20=−42.9350995990605x_{20} = -42.9350995990605
x21=23.0383461263252x_{21} = 23.0383461263252
x22=4.18879020478639x_{22} = 4.18879020478639
x23=35.6047167406843x_{23} = 35.6047167406843
x24=−30.3687289847013x_{24} = -30.3687289847013
x25=29.3215314335047x_{25} = 29.3215314335047
x26=−96.342174710087x_{26} = -96.342174710087
x27=54.4542726622231x_{27} = 54.4542726622231
x28=98.4365698124802x_{28} = 98.4365698124802
x29=57.5958653158129x_{29} = 57.5958653158129
x30=67.0206432765823x_{30} = 67.0206432765823
x31=−14.6607657167524x_{31} = -14.6607657167524
x32=85.870199198121x_{32} = 85.870199198121
x33=13.6135681655558x_{33} = 13.6135681655558
x34=−2.0943951023932x_{34} = -2.0943951023932
x35=−99.4837673636768x_{35} = -99.4837673636768
x36=19.8967534727354x_{36} = 19.8967534727354
x37=−93.2005820564972x_{37} = -93.2005820564972
x38=−49.2182849062401x_{38} = -49.2182849062401
x39=−33.5103216382911x_{39} = -33.5103216382911
x40=−24.0855436775217x_{40} = -24.0855436775217
x41=45.0294947014537x_{41} = 45.0294947014537
x42=101.57816246607x_{42} = 101.57816246607
x43=−55.5014702134197x_{43} = -55.5014702134197
x44=−39.7935069454707x_{44} = -39.7935069454707
x45=73.3038285837618x_{45} = 73.3038285837618
x46=63.8790506229925x_{46} = 63.8790506229925
x47=−74.3510261349584x_{47} = -74.3510261349584
x48=−68.0678408277789x_{48} = -68.0678408277789
x49=−46.0766922526503x_{49} = -46.0766922526503
x50=−90.0589894029074x_{50} = -90.0589894029074
x51=1.0471975511966x_{51} = 1.0471975511966
x52=51.3126800086333x_{52} = 51.3126800086333
x53=−61.7846555205993x_{53} = -61.7846555205993
x54=−36.6519142918809x_{54} = -36.6519142918809
x55=−80.634211442138x_{55} = -80.634211442138
x56=−20.943951023932x_{56} = -20.943951023932
x57=−11.5191730631626x_{57} = -11.5191730631626
x58=48.1710873550435x_{58} = 48.1710873550435
x59=41.8879020478639x_{59} = 41.8879020478639
x60=−8.37758040957278x_{60} = -8.37758040957278
x61=−71.2094334813686x_{61} = -71.2094334813686
x62=10.471975511966x_{62} = 10.471975511966
x63=26.1799387799149x_{63} = 26.1799387799149
x64=−52.3598775598299x_{64} = -52.3598775598299
x65=−77.4926187885482x_{65} = -77.4926187885482
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cot(x + pi/6).
cot⁡(π6)\cot{\left(\frac{\pi}{6} \right)}
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}
Punto:
(0, sqrt(3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−cot⁡2(x+π6)−1=0- \cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(cot⁡2(x+π6)+1)cot⁡(x+π6)=02 \left(\cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} + 1\right) \cot{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,π3]\left(-\infty, \frac{\pi}{3}\right]
Convexa en los intervalos
[π3,∞)\left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cot⁡(x+π6)=−cot⁡(∞)\lim_{x \to -\infty} \cot{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = - \cot{\left(\infty \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−cot⁡(∞)y = - \cot{\left(\infty \right)}
lim⁡x→∞cot⁡(x+π6)=cot⁡(∞)\lim_{x \to \infty} \cot{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = \cot{\left(\infty \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=cot⁡(∞)y = \cot{\left(\infty \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cot(x + pi/6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(cot⁡(x+π6)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(cot⁡(x+π6)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cot⁡(x+π6)=−cot⁡(x−π6)\cot{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = - \cot{\left(x - \frac{\pi}{6} \right)}
- No
cot⁡(x+π6)=cot⁡(x−π6)\cot{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = \cot{\left(x - \frac{\pi}{6} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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