Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cot(1.05*x)-x^2

Gráfico de la función y = cot(1.05*x)-x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /21*x\    2
f(x) = cot|----| - x 
          \ 20 /
f(x)=−x2+cot⁡(21x20)f{\left(x \right)} = - x^{2} + \cot{\left(\frac{21 x}{20} \right)} 
f = -x^2 + cot(21*x/20)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x2+cot⁡(21x20)=0- x^{2} + \cot{\left(\frac{21 x}{20} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0.874359167518133x_{1} = 0.874359167518133
x2=0.874359167518137x_{2} = 0.874359167518137
x3=−2.8775278236136x_{3} = -2.8775278236136
x4=3.09129371618521x_{4} = 3.09129371618521
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x−21cot⁡2(21x20)20−2120=0- 2 x - \frac{21 \cot^{2}{\left(\frac{21 x}{20} \right)}}{20} - \frac{21}{20} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2.54276994785044x_{1} = -2.54276994785044
x2=−11.7652627313709x_{2} = -11.7652627313709
x3=−71.8893190558977x_{3} = -71.8893190558977
x4=−29.7931309579657x_{4} = -29.7931309579657
x5=−53.7616062080988x_{5} = -53.7616062080988
x6=−77.870105905816x_{6} = -77.870105905816
x7=−0.856509273997061x_{7} = -0.856509273997061
x8=−8.74016069154127x_{8} = -8.74016069154127
x9=−5.69005267496706x_{9} = -5.69005267496706
x10=−9.20563647762573x_{10} = -9.20563647762573
x11=−17.7875236944836x_{11} = -17.7875236944836
x12=−23.7939509312533x_{12} = -23.7939509312533
x13=−65.7386224877894x_{13} = -65.7386224877894
x14=−59.7504558951803x_{14} = -59.7504558951803
x15=−35.7882815189715x_{15} = -35.7882815189715
Signos de extremos en los puntos:
(-2.542769947850436, -4.50522719006382)

(-11.765262731370903, -133.794310397222)

(-71.88931905589773, -5179.73318382649)

(-29.793130957965673, -880.164138977606)

(-53.761606208098755, -2880.24039346318)

(-77.87010590581605, -6075.89110407981)

(-0.8565092739970607, -1.52824405067343)

(-8.740160691541274, -72.4346630769882)

(-5.690052674967061, -29.2401096442343)

(-9.205636477625731, -88.8100122153465)

(-17.787523694483564, -310.661803727062)

(-23.793950931253285, -559.494638091533)

(-65.73862248778943, -4310.42124438807)

(-59.75045589518034, -3559.49575601504)

(-35.78828151897146, -1272.60547602794)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2.54276994785044x_{1} = -2.54276994785044
x2=−11.7652627313709x_{2} = -11.7652627313709
x3=−29.7931309579657x_{3} = -29.7931309579657
x4=−53.7616062080988x_{4} = -53.7616062080988
x5=−8.74016069154127x_{5} = -8.74016069154127
x6=−5.69005267496706x_{6} = -5.69005267496706
x7=−17.7875236944836x_{7} = -17.7875236944836
x8=−23.7939509312533x_{8} = -23.7939509312533
x9=−65.7386224877894x_{9} = -65.7386224877894
x10=−59.7504558951803x_{10} = -59.7504558951803
x11=−35.7882815189715x_{11} = -35.7882815189715
Puntos máximos de la función:
x11=−71.8893190558977x_{11} = -71.8893190558977
x11=−77.870105905816x_{11} = -77.870105905816
x11=−0.856509273997061x_{11} = -0.856509273997061
x11=−9.20563647762573x_{11} = -9.20563647762573
Decrece en los intervalos
[−2.54276994785044,∞)\left[-2.54276994785044, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−65.7386224877894]\left(-\infty, -65.7386224877894\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
441(cot⁡2(21x20)+1)cot⁡(21x20)200−2=0\frac{441 \left(\cot^{2}{\left(\frac{21 x}{20} \right)} + 1\right) \cot{\left(\frac{21 x}{20} \right)}}{200} - 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−20acot⁡(−200441+472034413+13200441+472034413)21x_{1} = - \frac{20 \operatorname{acot}{\left(- \sqrt[3]{\frac{200}{441} + \frac{\sqrt{47203}}{441}} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{200}{441} + \frac{\sqrt{47203}}{441}}} \right)}}{21}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−20acot⁡(−200441+472034413+13200441+472034413)21]\left(-\infty, - \frac{20 \operatorname{acot}{\left(- \sqrt[3]{\frac{200}{441} + \frac{\sqrt{47203}}{441}} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{200}{441} + \frac{\sqrt{47203}}{441}}} \right)}}{21}\right]
Convexa en los intervalos
[−20acot⁡(−200441+472034413+13200441+472034413)21,∞)\left[- \frac{20 \operatorname{acot}{\left(- \sqrt[3]{\frac{200}{441} + \frac{\sqrt{47203}}{441}} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{200}{441} + \frac{\sqrt{47203}}{441}}} \right)}}{21}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(−x2+cot⁡(21x20))y = \lim_{x \to -\infty}\left(- x^{2} + \cot{\left(\frac{21 x}{20} \right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(−x2+cot⁡(21x20))y = \lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + \cot{\left(\frac{21 x}{20} \right)}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cot(21*x/20) - x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(−x2+cot⁡(21x20)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + \cot{\left(\frac{21 x}{20} \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(−x2+cot⁡(21x20)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \cot{\left(\frac{21 x}{20} \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x2+cot⁡(21x20)=−x2−cot⁡(21x20)- x^{2} + \cot{\left(\frac{21 x}{20} \right)} = - x^{2} - \cot{\left(\frac{21 x}{20} \right)}
- No
−x2+cot⁡(21x20)=x2+cot⁡(21x20)- x^{2} + \cot{\left(\frac{21 x}{20} \right)} = x^{2} + \cot{\left(\frac{21 x}{20} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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