Sr Examen

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|x|/arctg(x)
Trazado el gráfico de la función/ |x|/arctg(x)

Gráfico de la función y = |x|/arctg(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         |x|  
f(x) = -------
       atan(x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left|{x}\right|}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}$$ 
f = |x|/atan(x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left|{x}\right|}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x|/atan(x).
$$\frac{\left|{0}\right|}{\operatorname{atan}{\left(0 \right)}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}} - \frac{\left|{x}\right|}{\left(x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{\left(x + \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right) \left|{x}\right|}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)}} + \delta\left(x\right) - \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left(x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right)}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x}\right|}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x}\right|}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x|/atan(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x}\right|}{x \operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right) = \frac{2}{\pi}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{2 x}{\pi}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x}\right|}{x \operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right) = \frac{2}{\pi}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{2 x}{\pi}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left|{x}\right|}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}} = - \frac{\left|{x}\right|}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}$$
- No
$$\frac{\left|{x}\right|}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}} = \frac{\left|{x}\right|}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = |x|/arctg(x)
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