Sr Examen

Otras calculadoras

arctg(sinx)
Trazado el gráfico de la función/ arctg(sinx)

Gráfico de la función y = arctg(sinx)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = atan(sin(x))
f(x)=atan⁡(sin⁡(x))f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} 
f = atan(sin(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(sin⁡(x))=0\operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=−59.6902604182061x_{1} = -59.6902604182061
x2=−62.8318530717959x_{2} = -62.8318530717959
x3=−97.3893722612836x_{3} = -97.3893722612836
x4=87.9645943005142x_{4} = 87.9645943005142
x5=−56.5486677646163x_{5} = -56.5486677646163
x6=31.4159265358979x_{6} = 31.4159265358979
x7=69.1150383789755x_{7} = 69.1150383789755
x8=18.8495559215388x_{8} = 18.8495559215388
x9=−37.6991118430775x_{9} = -37.6991118430775
x10=−81.6814089933346x_{10} = -81.6814089933346
x11=−84.8230016469244x_{11} = -84.8230016469244
x12=−21.9911485751286x_{12} = -21.9911485751286
x13=47.1238898038469x_{13} = 47.1238898038469
x14=−15.707963267949x_{14} = -15.707963267949
x15=−12.5663706143592x_{15} = -12.5663706143592
x16=12.5663706143592x_{16} = 12.5663706143592
x17=−87.9645943005142x_{17} = -87.9645943005142
x18=53.4070751110265x_{18} = 53.4070751110265
x19=72.2566310325652x_{19} = 72.2566310325652
x20=−100.530964914873x_{20} = -100.530964914873
x21=−3.14159265358979x_{21} = -3.14159265358979
x22=5274.73406537726x_{22} = 5274.73406537726
x23=389.557489045134x_{23} = 389.557489045134
x24=34.5575191894877x_{24} = 34.5575191894877
x25=−94.2477796076938x_{25} = -94.2477796076938
x26=6.28318530717959x_{26} = 6.28318530717959
x27=−69.1150383789755x_{27} = -69.1150383789755
x28=97.3893722612836x_{28} = 97.3893722612836
x29=0x_{29} = 0
x30=65.9734457253857x_{30} = 65.9734457253857
x31=−50.2654824574367x_{31} = -50.2654824574367
x32=15.707963267949x_{32} = 15.707963267949
x33=3.14159265358979x_{33} = 3.14159265358979
x34=−25.1327412287183x_{34} = -25.1327412287183
x35=−131.946891450771x_{35} = -131.946891450771
x36=−59784.5081978138x_{36} = -59784.5081978138
x37=−53.4070751110265x_{37} = -53.4070751110265
x38=−18.8495559215388x_{38} = -18.8495559215388
x39=−43.9822971502571x_{39} = -43.9822971502571
x40=40.8407044966673x_{40} = 40.8407044966673
x41=37.6991118430775x_{41} = 37.6991118430775
x42=−6.28318530717959x_{42} = -6.28318530717959
x43=−78.5398163397448x_{43} = -78.5398163397448
x44=182.212373908208x_{44} = 182.212373908208
x45=−40.8407044966673x_{45} = -40.8407044966673
x46=43.9822971502571x_{46} = 43.9822971502571
x47=56.5486677646163x_{47} = 56.5486677646163
x48=−65.9734457253857x_{48} = -65.9734457253857
x49=706.858347057703x_{49} = 706.858347057703
x50=25.1327412287183x_{50} = 25.1327412287183
x51=78.5398163397448x_{51} = 78.5398163397448
x52=−28.2743338823081x_{52} = -28.2743338823081
x53=75.398223686155x_{53} = 75.398223686155
x54=59.6902604182061x_{54} = 59.6902604182061
x55=−34.5575191894877x_{55} = -34.5575191894877
x56=81.6814089933346x_{56} = 81.6814089933346
x57=−47.1238898038469x_{57} = -47.1238898038469
x58=100.530964914873x_{58} = 100.530964914873
x59=−9.42477796076938x_{59} = -9.42477796076938
x60=−75.398223686155x_{60} = -75.398223686155
x61=−72.2566310325652x_{61} = -72.2566310325652
x62=−31.4159265358979x_{62} = -31.4159265358979
x63=28.2743338823081x_{63} = 28.2743338823081
x64=−91.106186954104x_{64} = -91.106186954104
x65=21.9911485751286x_{65} = 21.9911485751286
x66=62.8318530717959x_{66} = 62.8318530717959
x67=103.672557568463x_{67} = 103.672557568463
x68=9.42477796076938x_{68} = 9.42477796076938
x69=50.2654824574367x_{69} = 50.2654824574367
x70=94.2477796076938x_{70} = 94.2477796076938
x71=91.106186954104x_{71} = 91.106186954104
x72=84.8230016469244x_{72} = 84.8230016469244
x73=−119.380520836412x_{73} = -119.380520836412
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(sin(x)).
atan⁡(sin⁡(0))\operatorname{atan}{\left(\sin{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)sin⁡2(x)+1=0\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi  pi 
(--, --)
 2   4  

 3*pi  -pi  
(----, ----)
  2     4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3π2x_{1} = \frac{3 \pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(1+2cos⁡2(x)sin⁡2(x)+1)sin⁡(x)sin⁡2(x)+1=0- \frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(sin⁡(x))=atan⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=atan⁡(⟨−1,1⟩)y = \operatorname{atan}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞atan⁡(sin⁡(x))=atan⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=atan⁡(⟨−1,1⟩)y = \operatorname{atan}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(sin⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(sin⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(sin⁡(x))=−atan⁡(sin⁡(x))\operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}
- No
atan⁡(sin⁡(x))=atan⁡(sin⁡(x))\operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico
Gráfico de la función y = arctg(sinx)
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