Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ atan(1/(x^2))

Gráfico de la función y = atan(1/(x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /1 \
f(x) = atan|--|
           | 2|
           \x /
f(x)=atan⁡(1x2)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} 
f = atan(1/(x^2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(1x2)=0\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(1/(x^2)).
atan⁡(102)\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{0^{2}} \right)}
Resultado:
f(0)=⟨−π2,π2⟩f{\left(0 \right)} = \left\langle - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right\rangle
Punto:
(0, AccumBounds(-pi/2, pi/2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x3(1+1x4)=0- \frac{2}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x^{4}}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3−4x4(1+1x4))x4(1+1x4)=0\frac{2 \left(3 - \frac{4}{x^{4} \left(1 + \frac{1}{x^{4}}\right)}\right)}{x^{4} \left(1 + \frac{1}{x^{4}}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3343x_{1} = - \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}
x2=3343x_{2} = \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2(3−4x4(1+1x4))x4(1+1x4))=−2\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(3 - \frac{4}{x^{4} \left(1 + \frac{1}{x^{4}}\right)}\right)}{x^{4} \left(1 + \frac{1}{x^{4}}\right)}\right) = -2
lim⁡x→0+(2(3−4x4(1+1x4))x4(1+1x4))=−2\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(3 - \frac{4}{x^{4} \left(1 + \frac{1}{x^{4}}\right)}\right)}{x^{4} \left(1 + \frac{1}{x^{4}}\right)}\right) = -2
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−3343]∪[3343,∞)\left(-\infty, - \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}\right] \cup \left[\frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−3343,3343]\left[- \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}, \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(1x2)=0\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞atan⁡(1x2)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(1/(x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(1x2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(1x2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(1x2)=atan⁡(1x2)\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}
- Sí
atan⁡(1x2)=−atan⁡(1x2)\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}
- No
es decir, función
es
par
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