Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ atan(sqrt(3)cos(x))

Gráfico de la función y = atan(sqrt(3)cos(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /  ___       \
f(x) = atan\\/ 3 *cos(x)/
f(x)=atan⁡(3cos⁡(x))f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} \cos{\left(x \right)} \right)} 
f = atan(sqrt(3)*cos(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(3cos⁡(x))=0\operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} \cos{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=7.85398163397448x_{1} = 7.85398163397448
x2=−73.8274273593601x_{2} = -73.8274273593601
x3=−54.9778714378214x_{3} = -54.9778714378214
x4=−262.322986574748x_{4} = -262.322986574748
x5=73.8274273593601x_{5} = 73.8274273593601
x6=−26.7035375555132x_{6} = -26.7035375555132
x7=−1.5707963267949x_{7} = -1.5707963267949
x8=−95.8185759344887x_{8} = -95.8185759344887
x9=−39.2699081698724x_{9} = -39.2699081698724
x10=−4.71238898038469x_{10} = -4.71238898038469
x11=2084.44672565683x_{11} = 2084.44672565683
x12=14.1371669411541x_{12} = 14.1371669411541
x13=10.9955742875643x_{13} = 10.9955742875643
x14=58.1194640914112x_{14} = 58.1194640914112
x15=70.6858347057703x_{15} = 70.6858347057703
x16=−36.1283155162826x_{16} = -36.1283155162826
x17=54.9778714378214x_{17} = 54.9778714378214
x18=23.5619449019235x_{18} = 23.5619449019235
x19=−92.6769832808989x_{19} = -92.6769832808989
x20=−86.3937979737193x_{20} = -86.3937979737193
x21=−10.9955742875643x_{21} = -10.9955742875643
x22=92.6769832808989x_{22} = 92.6769832808989
x23=39.2699081698724x_{23} = 39.2699081698724
x24=−32.9867228626928x_{24} = -32.9867228626928
x25=98.9601685880785x_{25} = 98.9601685880785
x26=36.1283155162826x_{26} = 36.1283155162826
x27=−7.85398163397448x_{27} = -7.85398163397448
x28=−58.1194640914112x_{28} = -58.1194640914112
x29=−67.5442420521806x_{29} = -67.5442420521806
x30=−61.261056745001x_{30} = -61.261056745001
x31=26.7035375555132x_{31} = 26.7035375555132
x32=86.3937979737193x_{32} = 86.3937979737193
x33=−48.6946861306418x_{33} = -48.6946861306418
x34=51.8362787842316x_{34} = 51.8362787842316
x35=−42.4115008234622x_{35} = -42.4115008234622
x36=−89.5353906273091x_{36} = -89.5353906273091
x37=−98.9601685880785x_{37} = -98.9601685880785
x38=−14.1371669411541x_{38} = -14.1371669411541
x39=80.1106126665397x_{39} = 80.1106126665397
x40=−64.4026493985908x_{40} = -64.4026493985908
x41=95.8185759344887x_{41} = 95.8185759344887
x42=1.5707963267949x_{42} = 1.5707963267949
x43=45.553093477052x_{43} = 45.553093477052
x44=−17.2787595947439x_{44} = -17.2787595947439
x45=4.71238898038469x_{45} = 4.71238898038469
x46=48.6946861306418x_{46} = 48.6946861306418
x47=76.9690200129499x_{47} = 76.9690200129499
x48=−45.553093477052x_{48} = -45.553093477052
x49=20.4203522483337x_{49} = 20.4203522483337
x50=17.2787595947439x_{50} = 17.2787595947439
x51=−83.2522053201295x_{51} = -83.2522053201295
x52=−20.4203522483337x_{52} = -20.4203522483337
x53=−80.1106126665397x_{53} = -80.1106126665397
x54=61.261056745001x_{54} = 61.261056745001
x55=32.9867228626928x_{55} = 32.9867228626928
x56=64.4026493985908x_{56} = 64.4026493985908
x57=−23.5619449019235x_{57} = -23.5619449019235
x58=−102.101761241668x_{58} = -102.101761241668
x59=29.845130209103x_{59} = 29.845130209103
x60=42.4115008234622x_{60} = 42.4115008234622
x61=89.5353906273091x_{61} = 89.5353906273091
x62=−51.8362787842316x_{62} = -51.8362787842316
x63=−70.6858347057703x_{63} = -70.6858347057703
x64=83.2522053201295x_{64} = 83.2522053201295
x65=67.5442420521806x_{65} = 67.5442420521806
x66=−29.845130209103x_{66} = -29.845130209103
x67=−76.9690200129499x_{67} = -76.9690200129499
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(sqrt(3)*cos(x)).
atan⁡(3cos⁡(0))\operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} \cos{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=π3f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{3}
Punto:
(0, pi/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3sin⁡(x)3cos⁡2(x)+1=0- \frac{\sqrt{3} \sin{\left(x \right)}}{3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
    pi 
(0, --)
    3  

     -pi  
(pi, ----)
      3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−3(1+6sin⁡2(x)3cos⁡2(x)+1)cos⁡(x)3cos⁡2(x)+1=0- \frac{\sqrt{3} \left(1 + \frac{6 \sin^{2}{\left(x \right)}}{3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1}\right) \cos{\left(x \right)}}{3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π2]∪[π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−π2,π2]\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(3cos⁡(x))=atan⁡(3⟨−1,1⟩)\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} \cos{\left(x \right)} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=atan⁡(3⟨−1,1⟩)y = \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞atan⁡(3cos⁡(x))=atan⁡(3⟨−1,1⟩)\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} \cos{\left(x \right)} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=atan⁡(3⟨−1,1⟩)y = \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(sqrt(3)*cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(3cos⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(3cos⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(3cos⁡(x))=atan⁡(3cos⁡(x))\operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} \cos{\left(x \right)} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} \cos{\left(x \right)} \right)}
- Sí
atan⁡(3cos⁡(x))=−atan⁡(3cos⁡(x))\operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} \cos{\left(x \right)} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} \cos{\left(x \right)} \right)}
- No
es decir, función
es
par
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