Sr Examen

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Gráfico de la función y = atan((16/x^2)-1)-atan((1/x^2)-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
           /16    \       /1     \
f(x) = atan|-- - 1| - atan|-- - 1|
           | 2    |       | 2    |
           \x     /       \x     /
$$f{\left(x \right)} = - \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{1}{x^{2}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{16}{x^{2}} \right)}$$
f = -atan(-1 + 1/(x^2)) + atan(-1 + 16/x^2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{1}{x^{2}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{16}{x^{2}} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(16/x^2 - 1) - atan(1/(x^2) - 1).
$$\operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{16}{0^{2}} \right)} - \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{1}{0^{2}} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \left\langle - \pi, \pi\right\rangle$$
Punto:
(0, AccumBounds(-pi, pi))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{32}{x^{3} \left(\left(-1 + \frac{16}{x^{2}}\right)^{2} + 1\right)} + \frac{2}{x^{3} \left(\left(-1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2^{\frac{3}{4}}$$
$$x_{2} = 2^{\frac{3}{4}}$$
Signos de extremos en los puntos:
                                  /      ___\ 
   3/4        /        ___\       |    \/ 2 | 
(-2  , - atan\1 - 4*\/ 2 / + atan|1 - -----|)
                                  \      4  / 

                                 /      ___\ 
  3/4        /        ___\       |    \/ 2 | 
(2  , - atan\1 - 4*\/ 2 / + atan|1 - -----|)
                                 \      4  / 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - 2^{\frac{3}{4}}$$
$$x_{2} = 2^{\frac{3}{4}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2^{\frac{3}{4}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[2^{\frac{3}{4}}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{1}{x^{2}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{16}{x^{2}} \right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{1}{x^{2}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{16}{x^{2}} \right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(16/x^2 - 1) - atan(1/(x^2) - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{1}{x^{2}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{16}{x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{1}{x^{2}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{16}{x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{1}{x^{2}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{16}{x^{2}} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{1}{x^{2}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{16}{x^{2}} \right)}$$
- Sí
$$- \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{1}{x^{2}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{16}{x^{2}} \right)} = \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{1}{x^{2}} \right)} - \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{16}{x^{2}} \right)}$$
- No
es decir, función
es
par