Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ atan(2*x)/((4*x))

Gráfico de la función y = atan(2*x)/((4*x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       atan(2*x)
f(x) = ---------
          4*x
f(x)=atan⁡(2x)4xf{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{4 x} 
f = atan(2*x)/((4*x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.01.0
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(2x)4x=0\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{4 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(2*x)/((4*x)).
atan⁡(0⋅2)0⋅4\frac{\operatorname{atan}{\left(0 \cdot 2 \right)}}{0 \cdot 4}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
214x4x2+1−atan⁡(2x)4x2=0\frac{2 \frac{1}{4 x}}{4 x^{2} + 1} - \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{4 x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4(4x2+1)2−1x2(4x2+1)+atan⁡(2x)2x3=0- \frac{4}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} \left(4 x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{2 x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=17154.8496093912x_{1} = 17154.8496093912
x2=19697.3260971377x_{2} = 19697.3260971377
x3=30715.3735810553x_{3} = 30715.3735810553
x4=37495.9482372872x_{4} = 37495.9482372872
x5=−33126.8487587679x_{5} = -33126.8487587679
x6=8681.39985622011x_{6} = 8681.39985622011
x7=9528.53074089356x_{7} = 9528.53074089356
x8=29867.8101058239x_{8} = 29867.8101058239
x9=−33974.4198323863x_{9} = -33974.4198323863
x10=−29736.5835540329x_{10} = -29736.5835540329
x11=18849.8236987768x_{11} = 18849.8236987768
x12=11223.01269086x_{12} = 11223.01269086
x13=23087.4114110973x_{13} = 23087.4114110973
x14=−22956.1893162643x_{14} = -22956.1893162643
x15=−12786.4925263164x_{15} = -12786.4925263164
x16=−36517.1423633654x_{16} = -36517.1423633654
x17=−13633.8767787572x_{17} = -13633.8767787572
x18=−39907.4570770544x_{18} = -39907.4570770544
x19=−25498.8094406069x_{19} = -25498.8094406069
x20=−17871.1161770063x_{20} = -17871.1161770063
x21=42581.4337794408x_{21} = 42581.4337794408
x22=−10244.564538314x_{22} = -10244.564538314
x23=−42450.2039018375x_{23} = -42450.2039018375
x24=−20413.6178571567x_{24} = -20413.6178571567
x25=−40755.0384320226x_{25} = -40755.0384320226
x26=−9397.3649962991x_{26} = -9397.3649962991
x27=21392.3554347137x_{27} = 21392.3554347137
x28=18002.3310464122x_{28} = 18002.3310464122
x29=32410.5069847427x_{29} = 32410.5069847427
x30=22239.8804787742x_{30} = 22239.8804787742
x31=−38212.2974354065x_{31} = -38212.2974354065
x32=−8550.24851250338x_{32} = -8550.24851250338
x33=−22108.6592491612x_{33} = -22108.6592491612
x34=26477.5825889113x_{34} = 26477.5825889113
x35=−34821.99253386x_{35} = -34821.99253386
x36=27325.1350142595x_{36} = 27325.1350142595
x37=−28889.0228738707x_{37} = -28889.0228738707
x38=−15328.7196680046x_{38} = -15328.7196680046
x39=40886.2680383924x_{39} = 40886.2680383924
x40=39191.1060213421x_{40} = 39191.1060213421
x41=38343.5265648352x_{41} = 38343.5265648352
x42=41733.8504719762x_{42} = 41733.8504719762
x43=36648.3711176498x_{43} = 36648.3711176498
x44=−27193.9097461941x_{44} = -27193.9097461941
x45=−39059.8767224905x_{45} = -39059.8767224905
x46=35800.7952924122x_{46} = 35800.7952924122
x47=−28041.4648541161x_{47} = -28041.4648541161
x48=−23803.7247300519x_{48} = -23803.7247300519
x49=13765.0783402001x_{49} = 13765.0783402001
x50=40038.6865345901x_{50} = 40038.6865345901
x51=−35669.5667462001x_{51} = -35669.5667462001
x52=34953.2208565225x_{52} = 34953.2208565225
x53=−17023.6366209311x_{53} = -17023.6366209311
x54=−16176.170368212x_{54} = -16176.170368212
x55=−21261.135176979x_{55} = -21261.135176979
x56=−31431.7120267314x_{56} = -31431.7120267314
x57=23934.9475985011x_{57} = 23934.9475985011
x58=−19566.1081803417x_{58} = -19566.1081803417
x59=16307.3811680521x_{59} = 16307.3811680521
x60=29020.249035495x_{60} = 29020.249035495
x61=12917.6896954205x_{61} = 12917.6896954205
x62=34105.6479144478x_{62} = 34105.6479144478
x63=−32279.2794423922x_{63} = -32279.2794423922
x64=−18718.6072010202x_{64} = -18718.6072010202
x65=12070.3320738939x_{65} = 12070.3320738939
x66=−37364.7192890114x_{66} = -37364.7192890114
x67=15459.9279005977x_{67} = 15459.9279005977
x68=31562.9392656591x_{68} = 31562.9392656591
x69=25630.0336293753x_{69} = 25630.0336293753
x70=−30584.1466713136x_{70} = -30584.1466713136
x71=−11939.1402844503x_{71} = -11939.1402844503
x72=28172.6905893722x_{72} = 28172.6905893722
x73=24782.4884954453x_{73} = 24782.4884954453
x74=−24651.2649324947x_{74} = -24651.2649324947
x75=−14481.2873067429x_{75} = -14481.2873067429
x76=33258.076581398x_{76} = 33258.076581398
x77=−26346.3578342418x_{77} = -26346.3578342418
x78=14612.4925008121x_{78} = 14612.4925008121
x79=10375.7411869706x_{79} = 10375.7411869706
x80=−11091.8275880974x_{80} = -11091.8275880974
x81=20544.8370180755x_{81} = 20544.8370180755
x82=−41602.6207258237x_{82} = -41602.6207258237
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−4(4x2+1)2−1x2(4x2+1)+atan⁡(2x)2x3)=−43\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{4}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} \left(4 x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{2 x^{3}}\right) = - \frac{4}{3}
lim⁡x→0+(−4(4x2+1)2−1x2(4x2+1)+atan⁡(2x)2x3)=−43\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{4}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} \left(4 x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{2 x^{3}}\right) = - \frac{4}{3}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(2x)4x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{4 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(atan⁡(2x)4x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{4 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(2*x)/((4*x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(14xatan⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{4 x} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(14xatan⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{4 x} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(2x)4x=atan⁡(2x)4x\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{4 x} = \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{4 x}
- No
atan⁡(2x)4x=−atan⁡(2x)4x\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{4 x} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{4 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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