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Trazado el gráfico de la función/ atan(3^x)+7*x+5

Gráfico de la función y = atan(3^x)+7*x+5

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           / x\          
f(x) = atan\3 / + 7*x + 5
$$f{\left(x \right)} = \left(7 x + \operatorname{atan}{\left(3^{x} \right)}\right) + 5$$ 
f = 7*x + atan(3^x) + 5
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(7 x + \operatorname{atan}{\left(3^{x} \right)}\right) + 5 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = -0.772079899062801$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(3^x) + 7*x + 5.
$$\left(0 \cdot 7 + \operatorname{atan}{\left(3^{0} \right)}\right) + 5$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{4} + 5$$
Punto:
(0, 5 + pi/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3^{x} \log{\left(3 \right)}}{3^{2 x} + 1} + 7 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{3^{x} \left(- \frac{2 \cdot 3^{2 x}}{3^{2 x} + 1} + 1\right) \log{\left(3 \right)}^{2}}{3^{2 x} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(7 x + \operatorname{atan}{\left(3^{x} \right)}\right) + 5\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(7 x + \operatorname{atan}{\left(3^{x} \right)}\right) + 5\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(3^x) + 7*x + 5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(7 x + \operatorname{atan}{\left(3^{x} \right)}\right) + 5}{x}\right) = 7$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = 7 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(7 x + \operatorname{atan}{\left(3^{x} \right)}\right) + 5}{x}\right) = 7$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = 7 x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(7 x + \operatorname{atan}{\left(3^{x} \right)}\right) + 5 = - 7 x + \operatorname{atan}{\left(3^{- x} \right)} + 5$$
- No
$$\left(7 x + \operatorname{atan}{\left(3^{x} \right)}\right) + 5 = 7 x - \operatorname{atan}{\left(3^{- x} \right)} - 5$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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