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Trazado el gráfico de la función/ atan(sqrt((4.00/x^2)-1))-atan(sqrt((1/x^2)-1))-pi/4

Gráfico de la función y = atan(sqrt((4.00/x^2)-1))-atan(sqrt((1/x^2)-1))-pi/4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /     ________\       /     ________\     
           |    / 4      |       |    / 1      |   pi
f(x) = atan|   /  -- - 1 | - atan|   /  -- - 1 | - --
           |  /    2     |       |  /    2     |   4 
           \\/    x      /       \\/    x      /
f(x)=(−atan⁡(−1+1x2)+atan⁡(−1+4x2))−π4f{\left(x \right)} = \left(- \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + \frac{1}{x^{2}}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + \frac{4}{x^{2}}} \right)}\right) - \frac{\pi}{4} 
f = -atan(sqrt(-1 + 1/(x^2))) + atan(sqrt(-1 + 4/x^2)) - pi/4
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101.0-1.0
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−atan⁡(−1+1x2)+atan⁡(−1+4x2))−π4=0\left(- \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + \frac{1}{x^{2}}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + \frac{4}{x^{2}}} \right)}\right) - \frac{\pi}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(sqrt(4/x^2 - 1)) - atan(sqrt(1/(x^2) - 1)) - pi/4.
−π4+(−atan⁡(−1+102)+atan⁡(−1+402))- \frac{\pi}{4} + \left(- \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + \frac{1}{0^{2}}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + \frac{4}{0^{2}}} \right)}\right)
Resultado:
f(0)=⟨−π,π⟩−π4f{\left(0 \right)} = \left\langle - \pi, \pi\right\rangle - \frac{\pi}{4}
Punto:
(0, AccumBounds(-pi, pi) - pi/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−1x−1+4x2+1x−1+1x2=0- \frac{1}{x \sqrt{-1 + \frac{4}{x^{2}}}} + \frac{1}{x \sqrt{-1 + \frac{1}{x^{2}}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
1−1+4x2−1−1+1x2−4x2(−1+4x2)32+1x2(−1+1x2)32x2=0\frac{\frac{1}{\sqrt{-1 + \frac{4}{x^{2}}}} - \frac{1}{\sqrt{-1 + \frac{1}{x^{2}}}} - \frac{4}{x^{2} \left(-1 + \frac{4}{x^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{2} \left(-1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞((−atan⁡(−1+1x2)+atan⁡(−1+4x2))−π4)y = \lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + \frac{1}{x^{2}}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + \frac{4}{x^{2}}} \right)}\right) - \frac{\pi}{4}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞((−atan⁡(−1+1x2)+atan⁡(−1+4x2))−π4)y = \lim_{x \to \infty}\left(\left(- \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + \frac{1}{x^{2}}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + \frac{4}{x^{2}}} \right)}\right) - \frac{\pi}{4}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(sqrt(4/x^2 - 1)) - atan(sqrt(1/(x^2) - 1)) - pi/4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−atan⁡(−1+1x2)+atan⁡(−1+4x2))−π4x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + \frac{1}{x^{2}}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + \frac{4}{x^{2}}} \right)}\right) - \frac{\pi}{4}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((−atan⁡(−1+1x2)+atan⁡(−1+4x2))−π4x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + \frac{1}{x^{2}}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + \frac{4}{x^{2}}} \right)}\right) - \frac{\pi}{4}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−atan⁡(−1+1x2)+atan⁡(−1+4x2))−π4=(−atan⁡(−1+1x2)+atan⁡(−1+4x2))−π4\left(- \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + \frac{1}{x^{2}}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + \frac{4}{x^{2}}} \right)}\right) - \frac{\pi}{4} = \left(- \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + \frac{1}{x^{2}}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + \frac{4}{x^{2}}} \right)}\right) - \frac{\pi}{4}
- Sí
(−atan⁡(−1+1x2)+atan⁡(−1+4x2))−π4=(atan⁡(−1+1x2)−atan⁡(−1+4x2))+π4\left(- \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + \frac{1}{x^{2}}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + \frac{4}{x^{2}}} \right)}\right) - \frac{\pi}{4} = \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + \frac{1}{x^{2}}} \right)} - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + \frac{4}{x^{2}}} \right)}\right) + \frac{\pi}{4}
- No
es decir, función
es
par
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