Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ atan(4-sin(x))^(2)+e

Gráfico de la función y = atan(4-sin(x))^(2)+e

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           2                
f(x) = atan (4 - sin(x)) + E
f(x)=atan⁡2(4−sin⁡(x))+ef{\left(x \right)} = \operatorname{atan}^{2}{\left(4 - \sin{\left(x \right)} \right)} + e 
f = atan(4 - sin(x))^2 + E
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10104.05.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡2(4−sin⁡(x))+e=0\operatorname{atan}^{2}{\left(4 - \sin{\left(x \right)} \right)} + e = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(4 - sin(x))^2 + E.
atan⁡2(4−sin⁡(0))+e\operatorname{atan}^{2}{\left(4 - \sin{\left(0 \right)} \right)} + e
Resultado:
f(0)=atan⁡2(4)+ef{\left(0 \right)} = \operatorname{atan}^{2}{\left(4 \right)} + e
Punto:
(0, E + atan(4)^2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2cos⁡(x)atan⁡(4−sin⁡(x))(4−sin⁡(x))2+1=0- \frac{2 \cos{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(4 - \sin{\left(x \right)} \right)}}{\left(4 - \sin{\left(x \right)}\right)^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi           2    
(----, E + atan (5))
  2                 

 pi          2    
(--, E + atan (3))
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−π2,π2]\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−sin⁡(x)atan⁡(sin⁡(x)−4)−2(sin⁡(x)−4)cos⁡2(x)atan⁡(sin⁡(x)−4)(sin⁡(x)−4)2+1+cos⁡2(x)(sin⁡(x)−4)2+1)(sin⁡(x)−4)2+1=0\frac{2 \left(- \sin{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} - 4 \right)} - \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - 4\right) \cos^{2}{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} - 4 \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} - 4\right)^{2} + 1} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} - 4\right)^{2} + 1}\right)}{\left(\sin{\left(x \right)} - 4\right)^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−41.2411773060209x_{1} = -41.2411773060209
x2=−28.6748066916618x_{2} = -28.6748066916618
x3=565.887150455516x_{3} = 565.887150455516
x4=59.2897876088524x_{4} = 59.2897876088524
x5=38.0995846524311x_{5} = 38.0995846524311
x6=−85.2234744562781x_{6} = -85.2234744562781
x7=100.931437724227x_{7} = 100.931437724227
x8=50.6659552667903x_{8} = 50.6659552667903
x9=−16.1084360773026x_{9} = -16.1084360773026
x10=−9.82525077012301x_{10} = -9.82525077012301
x11=−22.3916213844822x_{11} = -22.3916213844822
x12=6.68365811653322x_{12} = 6.68365811653322
x13=2.74111984423616x_{13} = 2.74111984423616
x14=−66.3739185347393x_{14} = -66.3739185347393
x15=−87.5641214911606x_{15} = -87.5641214911606
x16=40.4402316873137x_{16} = 40.4402316873137
x17=−49.8650096480831x_{17} = -49.8650096480831
x18=84.4225288375708x_{18} = 84.4225288375708
x19=−56.1481949552626x_{19} = -56.1481949552626
x20=−43.5818243409035x_{20} = -43.5818243409035
x21=−8682.96162171284x_{21} = -8682.96162171284
x22=−5.88271249782596x_{22} = -5.88271249782596
x23=−37.2986390337239x_{23} = -37.2986390337239
x24=78.1393435303912x_{24} = 78.1393435303912
x25=46.7234169944933x_{25} = 46.7234169944933
x26=−3.54206546294342x_{26} = -3.54206546294342
x27=−18.4490831121851x_{27} = -18.4490831121851
x28=94.6482524170474x_{28} = 94.6482524170474
x29=−100.13049210552x_{29} = -100.13049210552
x30=31.8163993452516x_{30} = 31.8163993452516
x31=−97.7898450706372x_{31} = -97.7898450706372
x32=90.7057141447504x_{32} = 90.7057141447504
x33=−104.073030377817x_{33} = -104.073030377817
x34=−47.5243626132005x_{34} = -47.5243626132005
x35=−68.7145655696218x_{35} = -68.7145655696218
x36=9.02430515141575x_{36} = 9.02430515141575
x37=21.5906757657749x_{37} = 21.5906757657749
x38=53.0066023016729x_{38} = 53.0066023016729
x39=65.572972916032x_{39} = 65.572972916032
x40=−81.280936183981x_{40} = -81.280936183981
x41=−60.0907332275597x_{41} = -60.0907332275597
x42=−78.9402891490985x_{42} = -78.9402891490985
x43=−53.8075479203801x_{43} = -53.8075479203801
x44=27.8738610729545x_{44} = 27.8738610729545
x45=34.1570463801341x_{45} = 34.1570463801341
x46=−34.9579919988414x_{46} = -34.9579919988414
x47=−72.6571038419189x_{47} = -72.6571038419189
x48=12.9668434237128x_{48} = 12.9668434237128
x49=63.2323258811495x_{49} = 63.2323258811495
x50=−12.1658978050055x_{50} = -12.1658978050055
x51=157.480105488843x_{51} = 157.480105488843
x52=75.7986964955087x_{52} = 75.7986964955087
x53=−62.4313802624422x_{53} = -62.4313802624422
x54=−411.949110429617x_{54} = -411.949110429617
x55=56.9491405739699x_{55} = 56.9491405739699
x56=69.5155111883291x_{56} = 69.5155111883291
x57=0.400472809353631x_{57} = 0.400472809353631
x58=−93.8473067983402x_{58} = -93.8473067983402
x59=96.98889945193x_{59} = 96.98889945193
x60=−24.7322684193647x_{60} = -24.7322684193647
x61=88.3650671098678x_{61} = 88.3650671098678
x62=44.3827699596107x_{62} = 44.3827699596107
x63=15.3074904585953x_{63} = 15.3074904585953
x64=71.8561582232116x_{64} = 71.8561582232116
x65=82.0818818026883x_{65} = 82.0818818026883
x66=−91.5066597634576x_{66} = -91.5066597634576
x67=25.533214038072x_{67} = 25.533214038072
x68=19.2500287308924x_{68} = 19.2500287308924

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[565.887150455516,∞)\left[565.887150455516, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−8682.96162171284]\left(-\infty, -8682.96162171284\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡2(4−sin⁡(x))+e)=atan⁡2(⟨3,5⟩)+e\lim_{x \to -\infty}\left(\operatorname{atan}^{2}{\left(4 - \sin{\left(x \right)} \right)} + e\right) = \operatorname{atan}^{2}{\left(\left\langle 3, 5\right\rangle \right)} + e
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=atan⁡2(⟨3,5⟩)+ey = \operatorname{atan}^{2}{\left(\left\langle 3, 5\right\rangle \right)} + e
lim⁡x→∞(atan⁡2(4−sin⁡(x))+e)=atan⁡2(⟨3,5⟩)+e\lim_{x \to \infty}\left(\operatorname{atan}^{2}{\left(4 - \sin{\left(x \right)} \right)} + e\right) = \operatorname{atan}^{2}{\left(\left\langle 3, 5\right\rangle \right)} + e
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=atan⁡2(⟨3,5⟩)+ey = \operatorname{atan}^{2}{\left(\left\langle 3, 5\right\rangle \right)} + e
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(4 - sin(x))^2 + E, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡2(4−sin⁡(x))+ex)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(4 - \sin{\left(x \right)} \right)} + e}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡2(4−sin⁡(x))+ex)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(4 - \sin{\left(x \right)} \right)} + e}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡2(4−sin⁡(x))+e=atan⁡2(sin⁡(x)+4)+e\operatorname{atan}^{2}{\left(4 - \sin{\left(x \right)} \right)} + e = \operatorname{atan}^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} + 4 \right)} + e
- No
atan⁡2(4−sin⁡(x))+e=−atan⁡2(sin⁡(x)+4)−e\operatorname{atan}^{2}{\left(4 - \sin{\left(x \right)} \right)} + e = - \operatorname{atan}^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} + 4 \right)} - e
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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