Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sinx-1

Gráfico de la función y = sinx-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(x) - 1
f(x)=sin⁡(x)−1f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} - 1 
f = sin(x) - 1
Gráfico de la función
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.21.00.00.20.40.60.80-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)−1=0\sin{\left(x \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=39.2699077336963x_{1} = 39.2699077336963
x2=−77664.8827844698x_{2} = -77664.8827844698
x3=70.6858358251975x_{3} = 70.6858358251975
x4=−98.9601681513438x_{4} = -98.9601681513438
x5=−42.4115005850814x_{5} = -42.4115005850814
x6=−92.6769837307794x_{6} = -92.6769837307794
x7=51.8362788867584x_{7} = 51.8362788867584
x8=39.2699085343272x_{8} = 39.2699085343272
x9=70.6858344802043x_{9} = 70.6858344802043
x10=−42.4115013226904x_{10} = -42.4115013226904
x11=−86.3937988139119x_{11} = -86.3937988139119
x12=−23.5619450115115x_{12} = -23.5619450115115
x13=14.1371671100222x_{13} = 14.1371671100222
x14=58.1194636580315x_{14} = 58.1194636580315
x15=−4.71238862219396x_{15} = -4.71238862219396
x16=−61.2610562447228x_{16} = -61.2610562447228
x17=−23.5619449492902x_{17} = -23.5619449492902
x18=76.9690196732095x_{18} = 76.9690196732095
x19=26.7035387715281x_{19} = 26.7035387715281
x20=1.57079582971902x_{20} = 1.57079582971902
x21=95.8185760629547x_{21} = 95.8185760629547
x22=−67.5442420547782x_{22} = -67.5442420547782
x23=−17.2787583315643x_{23} = -17.2787583315643
x24=95.8185764110282x_{24} = 95.8185764110282
x25=−29.8451297624452x_{25} = -29.8451297624452
x26=51.8362789031518x_{26} = 51.8362789031518
x27=76.9690204681432x_{27} = 76.9690204681432
x28=−42.4115017818136x_{28} = -42.4115017818136
x29=−17.2787590920677x_{29} = -17.2787590920677
x30=−48.6946865760795x_{30} = -48.6946865760795
x31=−67.5442421706656x_{31} = -67.5442421706656
x32=−54.9778709962906x_{32} = -54.9778709962906
x33=−73.8274269047688x_{33} = -73.8274269047688
x34=83.2522056907544x_{34} = 83.2522056907544
x35=32.9867233134552x_{35} = 32.9867233134552
x36=−36.1283160197768x_{36} = -36.1283160197768
x37=70.6858352127237x_{37} = 70.6858352127237
x38=−17.2787598356363x_{38} = -17.2787598356363
x39=45.553093730794x_{39} = 45.553093730794
x40=−92.6769829355125x_{40} = -92.6769829355125
x41=45.5530922954328x_{41} = 45.5530922954328
x42=1.57079769954017x_{42} = 1.57079769954017
x43=64.4026493072124x_{43} = 64.4026493072124
x44=−36.1283153448593x_{44} = -36.1283153448593
x45=20.420352160156x_{45} = 20.420352160156
x46=−61.2610555612794x_{46} = -61.2610555612794
x47=−10.9955746401247x_{47} = -10.9955746401247
x48=3017.49974516717x_{48} = 3017.49974516717
x49=20.4203527610188x_{49} = 20.4203527610188
x50=−48.6946857788076x_{50} = -48.6946857788076
x51=−86.3937984749131x_{51} = -86.3937984749131
x52=−36.1283154173375x_{52} = -36.1283154173375
x53=26.7035380604159x_{53} = 26.7035380604159
x54=51.8362782775539x_{54} = 51.8362782775539
x55=1.57079525114023x_{55} = 1.57079525114023
x56=89.535390888605x_{56} = 89.535390888605
x57=58.119464520069x_{57} = 58.119464520069
x58=45.5530929823099x_{58} = 45.5530929823099
x59=95.8185754266891x_{59} = 95.8185754266891
x60=7.85398177249874x_{60} = 7.85398177249874
x61=−54.9778717966574x_{61} = -54.9778717966574
x62=−4.71238942125338x_{62} = -4.71238942125338
x63=7.85398174307326x_{63} = 7.85398174307326
x64=14.1371673791846x_{64} = 14.1371673791846
x65=1.57079657289894x_{65} = 1.57079657289894
x66=−67.5442415371049x_{66} = -67.5442415371049
x67=−29.8451306226524x_{67} = -29.8451306226524
x68=−29.8451300954883x_{68} = -29.8451300954883
x69=20.4203521477756x_{69} = 20.4203521477756
x70=89.5353901350773x_{70} = 89.5353901350773
x71=58.1194643979608x_{71} = 58.1194643979608
x72=95.8185759975842x_{72} = 95.8185759975842
x73=83.252204888767x_{73} = 83.252204888767
x74=−10.9955738413568x_{74} = -10.9955738413568
x75=26.703537322248x_{75} = 26.703537322248
x76=14.1371665172699x_{76} = 14.1371665172699
x77=32.9867225164981x_{77} = 32.9867225164981
x78=89.5353893728458x_{78} = 89.5353893728458
x79=−86.3937977431483x_{79} = -86.3937977431483
x80=−80.1106125781572x_{80} = -80.1106125781572
x81=−73.8274277616689x_{81} = -73.8274277616689
x82=−98.9601689530982x_{82} = -98.9601689530982
x83=−23.5619443878998x_{83} = -23.5619443878998
x84=102.101760799573x_{84} = 102.101760799573
x85=7.85398112872719x_{85} = 7.85398112872719
x86=−61.2610569934486x_{86} = -61.2610569934486
x87=64.4026499096387x_{87} = 64.4026499096387
x88=−73.8274272798455x_{88} = -73.8274272798455
x89=−80.1106124650157x_{89} = -80.1106124650157
x90=−80.1106131679426x_{90} = -80.1106131679426
x91=64.4026492731727x_{91} = 64.4026492731727
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x) - 1.
−1+sin⁡(0)-1 + \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)=0\cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    
(--, 0)
 2     

 3*pi     
(----, -2)
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3π2x_{1} = \frac{3 \pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)−1)=⟨−2,0⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} - 1\right) = \left\langle -2, 0\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,0⟩y = \left\langle -2, 0\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x)−1)=⟨−2,0⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} - 1\right) = \left\langle -2, 0\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,0⟩y = \left\langle -2, 0\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)−1=−sin⁡(x)−1\sin{\left(x \right)} - 1 = - \sin{\left(x \right)} - 1
- No
sin⁡(x)−1=sin⁡(x)+1\sin{\left(x \right)} - 1 = \sin{\left(x \right)} + 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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