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3^sin(x)
Trazado el gráfico de la función/ 3^sin(x)

Gráfico de la función y = 3^sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        sin(x)
f(x) = 3
f(x)=3sin⁡(x)f{\left(x \right)} = 3^{\sin{\left(x \right)}} 
f = 3^sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.05.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3sin⁡(x)=03^{\sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3^sin(x).
3sin⁡(0)3^{\sin{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3sin⁡(x)log⁡(3)cos⁡(x)=03^{\sin{\left(x \right)}} \log{\left(3 \right)} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi       
(----, 1/3)
  2        

 pi    
(--, 3)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
[−π2,π2]\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3sin⁡(x)(−sin⁡(x)+log⁡(3)cos⁡2(x))log⁡(3)=03^{\sin{\left(x \right)}} \left(- \sin{\left(x \right)} + \log{\left(3 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(3 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2atan⁡(1+1+4log⁡(3)2+21+1+4log⁡(3)22log⁡(3))x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(3 \right)}^{2}} + \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(3 \right)}^{2}}}}{2 \log{\left(3 \right)}} \right)}
x2=2atan⁡(−21+1+4log⁡(3)2+1+1+4log⁡(3)22log⁡(3))x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(3 \right)}^{2}}} + 1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(3 \right)}^{2}}}{2 \log{\left(3 \right)}} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,2atan⁡(−21+1+4log⁡(3)2+1+1+4log⁡(3)22log⁡(3))]∪[2atan⁡(1+1+4log⁡(3)2+21+1+4log⁡(3)22log⁡(3)),∞)\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(3 \right)}^{2}}} + 1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(3 \right)}^{2}}}{2 \log{\left(3 \right)}} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(3 \right)}^{2}} + \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(3 \right)}^{2}}}}{2 \log{\left(3 \right)}} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[2atan⁡(−21+1+4log⁡(3)2+1+1+4log⁡(3)22log⁡(3)),2atan⁡(1+1+4log⁡(3)2+21+1+4log⁡(3)22log⁡(3))]\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(3 \right)}^{2}}} + 1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(3 \right)}^{2}}}{2 \log{\left(3 \right)}} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(3 \right)}^{2}} + \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(3 \right)}^{2}}}}{2 \log{\left(3 \right)}} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞3sin⁡(x)=3⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} 3^{\sin{\left(x \right)}} = 3^{\left\langle -1, 1\right\rangle}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=3⟨−1,1⟩y = 3^{\left\langle -1, 1\right\rangle}
lim⁡x→∞3sin⁡(x)=3⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} 3^{\sin{\left(x \right)}} = 3^{\left\langle -1, 1\right\rangle}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=3⟨−1,1⟩y = 3^{\left\langle -1, 1\right\rangle}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3^sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3^{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3sin⁡(x)=3−sin⁡(x)3^{\sin{\left(x \right)}} = 3^{- \sin{\left(x \right)}}
- No
3sin⁡(x)=−3−sin⁡(x)3^{\sin{\left(x \right)}} = - 3^{- \sin{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 3^sin(x)
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